Salve,oggi,mi sono rimesso un po' a ripetere tutto ciò che avevo studiato in questi ultimi 5 mesi(analisi 1,algebra lineare,geometria 1) e dato che nel libro di algebra lineare c'era un introduzione alla teoria dei gruppi,mi era venuto un dubbio su un esercizio di teoria,la cui generalizzazione corrisponde al primo teorema di Sylow.Allora,ho provato a pensare ad una dimostrazione per questo teorema(usando principalmente i concetti di algebra lineare dato che la teoria dei gruppi la devo ancora studiare bene),ma non so se sia corretta.Se non vi reca disturbo,potreste dirmi se ho fatto qualche errore?
La dimostrazione è questa:
Sia $V$ uno spazio vettoriale,$B$ una sua base e $f$ un'operazione.Posto $G=(B,f)$(dove $G$ è un gruppo) sia ha che $o(G)=dim(V)=n$ (dove $o$ indica l'ordine del gruppo),ora,siano $p^r$,la potenza di un numero primo che divide $n$, ed $m$ un intero tale che $n=mp^r$.Ora siano $W_(1,....,m)$ dei sottospazi vettoriali tali che la loro somma diretta dia $V$,allora $dim(W_i)=p^r$.Infine,siano $B_(1,...,m)$ delle basi dei sottospazi vettoriali e $H_(1,...,m)$ dei sottogruppi di $G$,tali che $H_i=(B_i,f)$,allora $dim(W_i)=dim(H_i)=p^r$ e quindi esistono dei sottogruppi di $G$,il cui ordine sia pari ad $p^r$.E quindi,a meno di errori,il teorema è dimostrato.