Mi è venuta in mente questa cosa, e non trovandola da nessuna parte, vorrei sapere se fosse corretta.
siano $R,S$ anelli e $RtimesS$ gruppo prodotto diretto di $R,S$
se $A$ è ideal di $R,S$ allora esistono $I,J$ ideali di $R,S$ rispettivamente tale che $ItimesJ=A$
consideriamo gli insiemi $I={x in R: (x,0_S) in A}$ e $J={y in R: (0_R,y)in A}$
Intanto $I,J$ sono ideali di $R,S$ mostriamolo solo per $I$
siano $r in R, i in I$ allora $(r,0) in RtimesS$ e $(i,0) in A => (r,0)*(i,0)=(ri,0) in A$ ma allora per definizione di $I$ sarà $r*i in I$ dunque $I$ è ideale di $R$
mostriamo che coincidono.
se $x in ItimesJ$ allora $x=(a,b)$ con $a in I$ e $b in J$ ma allora per definizione dei due ideali si avrà che $(a,0) in A$ e $(0,b) in A$ ed essendo $A$ sottogruppo anche la somma vi apparterrà quindi $(a,b) In A$
viceversa basta prendere $x in A$ che sarà $x=(a,b)$ per $a,b in R,S$ chiaramente $(a,0) in I$ e $(0,b) in J$
in particolare vorrei sapere se è ben giustificata la riga in grassetto sopra di questa, oppure se si potesse far di più.