Poco dopo che avevo dato la mia risposta mi era venuta in mente un'idea ragionando sul primo post di Martino, ma era fuori e non potevo scriverla, lo faccio ora.
Sostanzialmente quello a cui ho pensato è una dimostrazione del lemma detto da Martino (un po' diversa dalla sua):
Dimostrazione: Sia $S$ una catena localmente finita, se $S=\emptyset$ la tesi è soddisfatta, se invece $S!=\emptyset$, sia $x\inS$, ora mi metto a definire $\phi:P->ZZ$. Sia $y\inS$, allora uno degli insiemi $[x,y]$ e $[y,x]$ è non vuoto, allora $\phi(y)={(|\text([)a,b\text(])|-1, if [x,y]!=\emptyset),(1-|\text([)a,b\text(])|, if [y,x]!=\emptyset):}$ dove con $|X|$ indico la cardinalità di $X$.
Bisogna innanzitutto verificare che sia ben definita, cioè verificare che se entrambi gli intervalli sono non vuoti il valore della funzione non dipende dalla scelta dell'intervallo che si usa per calcolare la funzione, ma se sono entrambi non vuoti vuol dire che $EEz_1,z_2$ t.c. $y<=z_1<=x<=z_2<=y=>x=y$, quindi $[x,y]=[y,x]={x}$ quindi $\phi(y)=0$ in entrambi i modi si voglia calcolare.
Inoltre $y<=z<=>\phi(y)<=\phi(z)$, che è abbastanza banale, solo che è un po' palloso perché bisogna distinguere i casi $x<=y<=z, y<=x<=z, y<=z<=x$, quindi conserva e riflette l'ordine, quindi è un isomorfismo con l'immagine, che è un sottoposet di $ZZ$.
A questo punto basta notare che essere localmente finito è una proprietà che passa ai sottoposet per concludere un verso dell'equivalenza che avevo in mente.
Ma l'altro verso non vale per il controesempio fornito da Martino (che si può generalizzare un pochino prendendo un qualsiasi insieme infinito come anticatena e aggiungendoci un massimo e un minimo).