Proposizione 2.2 di Lang, "Algebra"

Messaggioda marco2132k » 11/06/2019, 13:44

Ciao. Non mi è molto chiaro come dovrei interpretare la proposizione che segue (proposizione 2.2 del capitolo I sulla teoria dei gruppi di Algebra di Lang.

Let \( G \) be a group and \( H \) be a subgroup. Then \[ \tag{1}(G:H)(H:1)=(G:1) \] in the sense that if two of these two indices are finite, so is the third and equality holds as stated. [...]

More generally, let \( H \), \( K \) be subgroups of \( G \) and let \( H\supset K \). Let \( \left\{x_i\right\} \) be a set of (left) representatives of \( K \) in \( H \) and let \( \left\{y_j\right\} \) be a set of coset representatives of \( H \) in \( G \). Then we contend that \( \left\{y_jx_i\right\} \) is a set of coset representatives of \( K \) in \( G \).

[...] The formula of Proposition 2.2 may be therefore be generalized by writing \[ \tag{2}(G:K)=(G:H)(H:K) \] with the understanding that if two of these three indices appearing in this formula are finite, then so is the third and the formula holds.
Dove sembra (vd. qui, primo link) che con "insieme di rappresentanti di \( K \) in \( H \)", Lang intenda un sottoinsieme \( \left\{x_i\right\} \) di \( H \) contenente uno ed un solo rappresentante per ciascun coset di \( K \) in \( H \).

EDIT: alleggerito il messaggio; il vecchio post non era modificabile quindi ho aperto un nuovo thread, e cancellato quello vecchio.

Moderatore: vict85

Rimosso link al libro.

Relativamente all'EDIT, potevi anche riscrivere direttamente nel vecchio link (senza modificare il precedente post) oppure chiedere aiuto ai moderatori della sezione.
marco2132k
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 286 di 398
Iscritto il: 19/02/2018, 00:52

Re: Proposizione 2.2 di Lang, "Algebra"

Messaggioda marco2132k » 11/06/2019, 13:44

up
marco2132k
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 287 di 398
Iscritto il: 19/02/2018, 00:52

Re: Proposizione 2.2 di Lang, "Algebra"

Messaggioda vict85 » 11/06/2019, 14:11

Non ho capito cosa non ti è chiaro.
vict85
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 9697 di 9839
Iscritto il: 16/01/2008, 01:13
Località: Berlin

Re: Proposizione 2.2 di Lang, "Algebra"

Messaggioda marco2132k » 11/06/2019, 14:37

Giusto, scusa per il link... Fatico a comprendere la "seconda parte", da quando tenta di generalizzare in poi. Deduco che l'argomentazione che fa con gli insiemi di rappresentanti sia per estendere la formula degli indici anche a gruppi non finiti. Con gli stessi simboli che ho usato prima allora, se \( \left\{x_i\right\} \) è un insieme contenente un unico rappresentante per ogni coset di \( K \) in \( H \), dovrebbe essere \( \operatorname{card}\left\{x_i\right\}=(H:K) \), e analoghe per l'insieme \( \left\{y_j\right\} \) di rappresentanti di \( H \) in \( G \).

Il mio problema è con l'affermazione che \( \left\{y_ix_i\right\} \) è un insieme di rappresentanti di \( K \) in \( G \). Intuitivamente la formula degli indici (1) mi è chiara; meno chiaro mi è perché gli elementi di questo insieme debbano essere in corrispondenza biunivoca con i coset di \( K \) in \( G \) (e rappresentare perciò il "prodotto" \( (G:H)(H:K) \)): perché, per qualche \( i \), \( j \), \( i' \), \( j' \) non dovrebbe poter essere \( y_jx_i=y_{j'}x_{i'} \) (con almeno un indice \( k \) diverso da un \( k' \) tra gli \( i \) e i \( j \))?

Grazie per aver controllato, intanto.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Quando ho postato, a maggio, avevo descritto cosa non mi fosse chiaro, però era lungo e pesante, così ho pensato di toglierlo, senza scomodare i moderatori. (Se non sbaglio i messaggi si possono modificare autonomamente entro sette giorni, o giù di lì).
marco2132k
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 288 di 398
Iscritto il: 19/02/2018, 00:52

Re: Proposizione 2.2 di Lang, "Algebra"

Messaggioda vict85 » 11/06/2019, 16:48

Con insiemi di rappresentanti di \(K\) in \(H\) intende un sottoinsieme \(\{h_{\alpha}\}_{\alpha\in (H:K)}\) di \(H\setminus K\) tale che \(h_{\alpha}K\cap h_{\beta}K = \emptyset\) per ogni \(\alpha\neq\beta\) e tale che \(\bigcup_{\alpha} h_{\alpha}K = H\).
Quello che vuole mostrare è che se \(\{x_{\alpha}\}_{\alpha\in (G:H)}\) è un insieme di rappresentanti di \(H\) in \(G\) e \(\{y_{i}\}_{i\in (H:K)}\) è un insieme di rappresentanti di \(K\) in \(K\) allora \(\{x_{\alpha}y_{i}\}_{\alpha\in (G:H),\,i\in (H:K)}\) è un insieme di rappresentanti di \(K\) in \(G\).
Per dimostrarlo devi dimostrare le due proprietà che ho scritto sopra. La seconda è abbastanza semplice perché \(\bigcup_{\alpha}\bigcup_{i} x_{\alpha}y_{i}K = \bigcup_{\alpha} x_{\alpha} (\bigcup_{i} y_{i}K) = \bigcup_{\alpha} x_{\alpha}H = G\).
La prima si dimostra notando che se \(x_{\alpha}y_{i}K = x_{\beta}y_{j}K\) allora si deve avere \(\alpha = \beta\) ( sia \(y_{i}K\) che \(y_{j}K\) sono sottoinsiemi di \(H\)). A quel punto è immediato concludere.
vict85
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 9701 di 9839
Iscritto il: 16/01/2008, 01:13
Località: Berlin

Re: Proposizione 2.2 di Lang, "Algebra"

Messaggioda marco2132k » 12/06/2019, 18:42

vict85 ha scritto:Con insiemi di rappresentanti di \( K \) in \( H \) intende un sottoinsieme \( \{h_{\alpha}\}_{\alpha\in (H:K)} \) di \( H\setminus K \) tale che \( h_{\alpha}K\cap h_{\beta}K = \emptyset \) per ogni \( \alpha\neq\beta \) e tale che \( \bigcup_{\alpha} h_{\alpha}K = H \).
Perché gli \( h_\alpha \) vengono presi in \( H\setminus K \)? Un insieme di rappresentanti viene definito in altri posti come un insieme contenente uno ed uno solo rappresentante per ogni coset: è una definizione che mi sembra equivalente a quella tua (i coset sono le classi di equivalenza per \( {\equiv} \) definita in \( H \) come \( a\equiv b \) se e solo se \( b=ak \) per qualche \( k\in K \)), tranne per il fatto che così escludi \( K=eK \), dove \( e \) è l'identità del gruppo.

Infatti, se \( \left\{x_i\right\} \) è un insieme contenente uno ed uno solo rappresentante per ogni coset, abbiamo che presi \( x_i \) e \( x_j \) distinti, è \( x_i\in h_iK \) e \( x_j\in h_jK \) per due elementi \( h_i \) e \( h_j \) di \( H \); i due \( x_i \) e \( x_j \) sono distinti, da cui, dato che ogni coset ha nell'insieme uno ed uno solo rappresentante, è \( h_iK\cap h_jK=x_iK\cap x_jK=\emptyset \). Infine, se \( h \) è un elemento di \( H \), abbiamo che esso appartiene ad un coset di \( K \) in \( H \) (perché questi di fatto partizionano \( H \)); allora \( h\in\bigcup_i x_iK \), e l'inverso è immediato. Ora, è vero che tutti gli \( x_i \) sono in \( H\setminus K \)? Secondo me no, appunto.

A parte l'appartenenza a \( H\setminus K \) di ogni \( h_\alpha \) quindi, se \( \left\{h_\alpha\right\} \) è una famiglia con le proprietà da te descritte, presa una classe \( hK \) abbiamo, per il fatto che \( \bigcup_\alpha h_\alpha K \), l'esistenza di un \( h_\alpha \) della famiglia tale che \( h=h_\alpha k \) (per un \( k \) del sottogruppo). Tale \( h_\alpha \) appartiene banalmente a \( hK \). Per ogni coset inoltre, \( h_\alpha \) è unico, giacché per \( h_\alpha \), \( h_\beta \), abbiamo che le due classi individuate son disgiunte.

Quanto sopra è servito a me per capire cosa sto facendo.

In ogni caso ora mi sembra più chiara la cosa.
marco2132k
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 291 di 398
Iscritto il: 19/02/2018, 00:52

Re: Proposizione 2.2 di Lang, "Algebra"

Messaggioda vict85 » 13/06/2019, 09:43

Errore mio, scusa, uno di quegli elementi deve stare per forza in \(K\). Anche se puoi decidere di prendere sempre l'identità. E con \(\setminus\) intendevo la differenza insiemistica se non si era capito. Insomma gli \(h_{\alpha}\) sono elementi di \(H\) con quella caratteristica.
vict85
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 9707 di 9839
Iscritto il: 16/01/2008, 01:13
Località: Berlin

Re: Proposizione 2.2 di Lang, "Algebra"

Messaggioda marco2132k » 13/06/2019, 12:07

Sì, l'avevo capito, era quello che mi aveva fatto un po' di confusione. Chiedo un'ultima cosa, anche se forse è una domanda stupida.

Le cardinalità degli insiemi \( \left\{x_i\right\} \), \( \left\{y_j\right\} \) e \( \left\{y_jx_i\right\} \) sono rispettivamente \( (H:K) \), \( (G:H) \) e \( (G:K) \). Perché, con \( G \) gruppo finito, la proposizione implica la formula (2)?

In altre parole, non mi è chiaro perché dovrebbe essere
\[
\operatorname{card}\left\{y_jx_i\right\}=\operatorname{card}\left\{y_j\right\}\operatorname{card}\left\{x_i\right\}
\] quando tutti gli elementi di quegli insiemi appartengano ad un gruppo. (Perché non è detto che \( \left\{y_jx_i\right\} \) sia in corrispondenza biunivoca con il prodotto di \( \left\{x_i\right\} \) per \( \left\{y_j\right\} \)).

Dato che fino ad ora è stato dimostrato solo che \( \left\{y_jx_i\right\} \) è in corrispondenza biunivoca con i coset di \( K \) in \( G \), questo dovrebbe essere il passaggio che manca per dire che la 2.2 implica la formula degli indici.
marco2132k
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 292 di 398
Iscritto il: 19/02/2018, 00:52

Re: Proposizione 2.2 di Lang, "Algebra"

Messaggioda vict85 » 13/06/2019, 12:13

Sai che \(y_jx_iK \neq y_sx_tK\), quindi in particolare \(y_jx_ie \neq y_sx_te\) dove \(e\) è l'identità del gruppo.
vict85
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 9709 di 9839
Iscritto il: 16/01/2008, 01:13
Località: Berlin

Re: Proposizione 2.2 di Lang, "Algebra"

Messaggioda marco2132k » 13/06/2019, 12:30

In effetti era una domanda stupida :-D

Ti ringrazio molto.
marco2132k
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 293 di 398
Iscritto il: 19/02/2018, 00:52


Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 11 ospiti