Re: Non esiste funzione suriettiva da A alle parti di A

Messaggioda caulacau » 11/06/2019, 10:07

Se proprio non ti piace una dimostrazione per assurdo, prova a dimostrare questo risultato più generale:

Se esiste una suriezione \(S \to \hom(S,V)\) allora ogni funzione $g : V \to V$ ha almeno un punto fisso.

Corollario: non esiste una suriezione $S\to 2^S$ perché \(\lnot : 2\to 2\) non ha punti fissi.

Altrimenti, c'è anche una dimostrazione che invece di far vedere che non esiste una suriezione $S \to 2^S$ mostra che non esiste una iniezione $2^S\to S$ (queste due asserzioni non sono equivalenti).
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Re: Non esiste funzione suriettiva da A alle parti di A

Messaggioda vict85 » 11/06/2019, 11:22

Comunque quella dimostrazione non c'era ragione di scriverla come un assurdo. Infatti quello che stai davvero dimostrando è il seguente:

Teorema: Sia \(A\) un insieme e \(f\colon A\to \mathcal{P}(A)\), allora esiste \(E\in \mathcal{P}(A)\) tale che \(E \notin f(A)\).

L'insieme \(E\) scelto nella dimostrazione da te proposta (e che dipende da \(f\)), è ben posto e soddisfa questa condizione. Infatti, se \(a\in E\) allora \(f(a)\neq E\) perché \(a\notin f(a)\) per la definizione di \(E\). E se \(a\notin E\) allora \(f(a)\neq E\) perché \(a\in f(a)\) per definizione di \(E\).
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Re: Non esiste funzione suriettiva da A alle parti di A

Messaggioda axpgn » 11/06/2019, 12:42

Martino ha scritto:Si poteva usare un argomento diverso, sì, ma questo non significa che l'argomento usato non vada bene. Qualsiasi argomento che funziona è una dimostrazione.

Penso che il punto importante da capire per l'OP sia questo, ben evidenziato da Martino: se funziona, per quanto astrusa possa essere la dimostrazione, va bene :D
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Re: Non esiste funzione suriettiva da A alle parti di A

Messaggioda caulacau » 11/06/2019, 12:58

Qualsiasi argomento che funziona è una dimostrazione.

Questo punto di vista però è perlomeno semplicistico rispetto a un problema che, al di fuori della matematica classica, è piuttosto sentito.
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Re: Non esiste funzione suriettiva da A alle parti di A

Messaggioda universo » 25/06/2019, 22:21

Scusate per il ritardo,per questioni di organizzazione mi sono buttato su Algebra I e ho rimandato la questione.
In ogni caso ho capito cosa non mi era chiaro: se l'esistenza di B fosse sempre possibile. Dovrebbe essere garantita dall'assioma di specificazione. Ad ogni modo basta prendere un qualsiasi $x \in X$ e mandarlo in $\emptyset$ per avere che $x \notin f(x)$ e B esiste sempre.
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