Permutazioni

Messaggioda Nepler265 » 19/09/2019, 12:25

Salve a tutti , sto facendo esercizi sulle permutazioni e questo in particolare mi lascia abbastanza spiazzato...
Come dovrei ragionare per trovare σ ??

Si consideri le seguenti permutazioni :
π =
1 2 3 4 5 6 7 8
6 4 8 1 5 7 2 3
τ =
1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 4 5 2 8 6 7
di S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Si determini, se esiste, la permutazione σ tale che σπ = τ σ.

Grazie a tutti e buona giornata!
Nepler265
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Re: Permutazioni

Messaggioda vict85 » 19/09/2019, 12:54

Moderatore: vict85

Il Regolamento richiede un tentativo da parte tua.


Che tentativi hai fatto? Comunque, per le sezioni universitarie, dovresti cercare di imparare ad usare le formule il prima possibile. Se sai usare Latex, è molto semplice.

Un suggerimento:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
I gruppi hanno gli inversi, quindi puoi sfruttare alcuni dei metodi che useresti con le equazioni.
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Re: Permutazioni

Messaggioda mario955 » 19/09/2019, 14:26

Occorre innanzitutto verificare l'esistenza di $sigmainS_8$ tale che

$sigma eta=tau sigma<=>eta=sigma^(-1) tau sigma$

Quindi l'esistenza di $sigma$ si riconduce a verificare che $eta$ e $tau$ sono coniugate. Per far ciò occorre ricordare che due permutazioni sono coniugate se e soltanto se sono simili(cioè determinano la stessa partizione di 8(in tal caso)). Si decompone quindi $eta$ e $tau$ nel prodotto di cicli a due a due disgiunti:

$eta=(38)(167241)$
$tau=(687)(2345)$

La partizione di 8 determinata da $eta$ è $(2,6)$, mentre quella determinata da $tau$ è $(1,3,4)$. Essendo diverse le due partizioni, si ha che $sigma$ non esiste.
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Re: Permutazioni

Messaggioda Nepler265 » 19/09/2019, 14:56

grazie per la risposta ! non capisco soltanto qual'è il ragionamento di come le partizione di 8 da η sia (2,6) mentre quella determinata da τ è (1,3,4).
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Re: Permutazioni

Messaggioda mario9555 » 19/09/2019, 15:35

Per ciascuna permutazione,devi considerare le lunghezze dei cicli in cui è decomposta in ordine crescente; la somma di tali lunghezze deve essere 8 e, laddove ciò non accadesse, aggiungi come fattore iniziale il ciclo banale(permutazione identica) di lunghezza 1 e che non altera il prodotto, finchè la somma non fornisce 8.

Nel caso di $eta=(38)(167241)$, hai una trasposizione $(38)$ di lunghezza 2, ed un ciclo $(167241)$ di lunghezza 6, e quindi la partizione è $(2,6)$.

Nel caso di $tau=(687)(2345)$, hai un ciclo $(687)$ di lunghezza $3$ e un ciclo $(2345)$ di lunghezza $4$. La somma non è 8, ma $tau=(1)(687)(2345)$, e quindi la partizione è $(1,3,4)$.
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Re: Permutazioni

Messaggioda Nepler265 » 21/09/2019, 14:04

Chiarissimo grazie per la spiegazione !
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