Indrjo Dedej ha scritto:Però (ci sono sempre i "però") e se mi venisse l'idea malsana e delirante di dire "facciamo che prendiamo come primitivi il concetto di insieme e di funzione!"? Dopo tutto nella teoria degli insiemi la definizione di funzione come un particolare (sotto)insieme è solo un modo di imbrigliare il concetto di "funzione", "qualcosa che prende un input ed emette un output". E se lo volessimo lasciare "intuitivo", e dimenticarci dell'appartenenza?
Però per ottenere una teoria equivalente dovresti riuscire a tradurre nella nuova teoria l'appartenenza. Come vorresti fare? Magari dicendo che $x\in y$ se $EEf:x->{z}$ tale che $f(x)=z$ per qualche $z$? Questo potrebbe funzionare se si da un significato a $f(x)$ in questa fondazione alternativa.
Epimenide93 ha scritto:Ma anche tra i gruppi abeliani c'è un generatore, sebbene non sia il gruppo zero. Chi è?
Mi verrebbe da pensare che sia $ZZ$, e che più in generale tra gli $R$-moduli $R$ sia un generatore ma non mi viene in mente un motivo.
Ripensandoci, eccolo:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se ho $f,g:G->H$ omomorfismi di gruppi abeliani tali che $f!=g$ vuol dire che esiste $x\inG: f(x)!=g(x)$, se considero $h:ZZ->G$ definito univocamente da $h(1)=x$ (che avrà come immagine il sottogruppo generato da $x$), si ha che $f\circ h!=g\circ h$ perché queste funzioni differiscono in $1$.
La stessa dimostrazione si può fare per gli $R$-moduli. E tra l'altro vale anche in tutti i gruppi (anche non abeliani). Giusto?
La stessa dimostrazione si può fare per gli $R$-moduli. E tra l'altro vale anche in tutti i gruppi (anche non abeliani). Giusto?