Re: [Abstract nonsense] L'insieme vuoto

Messaggioda otta96 » 21/11/2019, 21:58

Indrjo Dedej ha scritto:Però (ci sono sempre i "però") e se mi venisse l'idea malsana e delirante di dire "facciamo che prendiamo come primitivi il concetto di insieme e di funzione!"? Dopo tutto nella teoria degli insiemi la definizione di funzione come un particolare (sotto)insieme è solo un modo di imbrigliare il concetto di "funzione", "qualcosa che prende un input ed emette un output". E se lo volessimo lasciare "intuitivo", e dimenticarci dell'appartenenza?

Però per ottenere una teoria equivalente dovresti riuscire a tradurre nella nuova teoria l'appartenenza. Come vorresti fare? Magari dicendo che $x\in y$ se $EEf:x->{z}$ tale che $f(x)=z$ per qualche $z$? Questo potrebbe funzionare se si da un significato a $f(x)$ in questa fondazione alternativa.

Epimenide93 ha scritto:Ma anche tra i gruppi abeliani c'è un generatore, sebbene non sia il gruppo zero. Chi è?

Mi verrebbe da pensare che sia $ZZ$, e che più in generale tra gli $R$-moduli $R$ sia un generatore ma non mi viene in mente un motivo.
Ripensandoci, eccolo:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se ho $f,g:G->H$ omomorfismi di gruppi abeliani tali che $f!=g$ vuol dire che esiste $x\inG: f(x)!=g(x)$, se considero $h:ZZ->G$ definito univocamente da $h(1)=x$ (che avrà come immagine il sottogruppo generato da $x$), si ha che $f\circ h!=g\circ h$ perché queste funzioni differiscono in $1$.
La stessa dimostrazione si può fare per gli $R$-moduli. E tra l'altro vale anche in tutti i gruppi (anche non abeliani). Giusto?
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Re: [Abstract nonsense] L'insieme vuoto

Messaggioda Indrjo Dedej » 21/11/2019, 22:20

Epimenide93 ha scritto:In realtà è verissimo. È dovuto al fatto che esistono contesti in cui ∈ non ha senso :)

All'inzio non c'era "No, dai scherzo...". L'ho messo forse perché poteva sembrare troppo. (Poi io sono quello che ha come firma "Ich bin kein Mensch, Ich bin Dyamit", tanto per non spavemtare così all'inizio... :lol:)
Bon... torniamo all'esercizietto banale e facile facile che ho dato. Non è stupido, e questo mi è confermato dal fatto che solaàl mi da una bellla risposta in "logichese" e in "insiemistichese". Poi c'è Bremen000, che ha capito come va il gioco: ti sei elevato in un certo senso ad un nuovo linguaggio. la riporto qua sotto.
Bremen000 ha scritto:sia $I$ che soddisfa la $(1)$ (con $I$ al posto di $\emptyset$). Allora sono uniche le mappe
\[ \text{id}_I : I \to I \quad \text{id}_{\emptyset} : \emptyset \to \emptyset \quad f : I \to \emptyset \quad g : \emptyset \to I \]
ma allora deve essere $ f \circ g = \text{id}_{\emptyset}$ e $g \circ f = \text{id}_I$. Ma quindi $I$ è in bigezione con il vuoto cosa che mi dovrebbe implicare che $I = \emptyset$ per unicità del vuoto.
Bene bene. Come ho detto questo è un caso troppo fortunato:
Bremen000 ha scritto:Qualcosa del tipo \[ x \in \emptyset \Leftrightarrow g(x) \in \emptyset.\]Ma la roba a destra è sempre falsa e quindi lo è anche quella a sinistra.
Ci sono altrove fenomeni analoghi altrove in cui ti devi accontentare di \(\cong\) al posto di un \(=\) troppo stringente e severo. Ma non è che ci si accontenta perché ci si arrende, piuttosto si impara che si può fare tanto con gli isomorfismi.

Ah, ormai non vi nascondo che \(\varnothing\) è l'(elemento) iniziale in \(\mathbf{Set}\), anche vi è stato spoilerato.

È una sorta di leitmotiv: "arrows, arrows everywhere!".

Bon, la prossima volta vi do qualcosa di più difficile, così ci pensate un po' più a lungo, e ho più tempo per il proseguimento...
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Re: [Abstract nonsense] L'insieme vuoto

Messaggioda Indrjo Dedej » 21/11/2019, 22:39

otta96 ha scritto:Però per ottenere una teoria equivalente dovresti riuscire a tradurre nella nuova teoria l'appartenenza. Come vorresti fare? Magari dicendo che $x\in y$ se $EEf:x->{z}$ tale che $f(x)=z$ per qualche $z$? Questo potrebbe funzionare se si da un significato a $f(x)$ in questa fondazione alternativa.
Se fai la scelta di partire da insiemi e funzioni con atomi del discorso, l'appartenenza ad un insieme \(X\) è un sofisma, se vuoi: una funzione da un insieme un insieme con uno e un solo elemento (ha importnza quale?) verso \(X\). Eccotelo un elemento \(x\) che appartiene a \(X\):
\xymatrix{\{\bullet\} \ar[r]^x & X}

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
E poi: vuoi definire "\(f(x)\)"? E niente, è una composizione: \(f \circ x = fx\).
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Re: [Abstract nonsense] L'insieme vuoto

Messaggioda otta96 » 21/11/2019, 23:37

Non mi convince molto questo discorso, a meno che il tuo intento non sia di ottenere una teoria equivalente, cosa che pensavo volessi fare.
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Re: [Abstract nonsense] L'insieme vuoto

Messaggioda gugo82 » 21/11/2019, 23:43

Indrjo Dedej ha scritto:
otta96 ha scritto:Però per ottenere una teoria equivalente dovresti riuscire a tradurre nella nuova teoria l'appartenenza. Come vorresti fare? Magari dicendo che $x\in y$ se $EEf:x->{z}$ tale che $f(x)=z$ per qualche $z$? Questo potrebbe funzionare se si da un significato a $f(x)$ in questa fondazione alternativa.
Se fai la scelta di partire da insiemi e funzioni con atomi del discorso, l'appartenenza ad un insieme \(X\) è un sofisma, se vuoi: una funzione da un insieme un insieme con uno e un solo elemento (ha importnza quale?) verso \(X\). Eccotelo un elemento \(x\) che appartiene a \(X\):
\xymatrix{\{\bullet\} \ar[r]^x & X}

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
E poi: vuoi definire "\(f(x)\)"? E niente, è una composizione: \(f \circ x = fx\).

Il problema che vedo qui è, in fondo, solo uno: “come definisco cos’è un insieme con un solo elemento?”

Probabilmente c’è da richiedere l’esistenza di un oggetto fatto come un singleton per assioma.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: [Abstract nonsense] L'insieme vuoto

Messaggioda solaàl » 22/11/2019, 01:01

Però per ottenere una teoria equivalente dovresti riuscire a tradurre nella nuova teoria l'appartenenza. Come vorresti fare?

otta96 ha scritto:Non mi convince molto questo discorso, a meno che il tuo intento non sia di ottenere una teoria equivalente, cosa che pensavo volessi fare.

Gli elementi di $A$ sono le funzioni \(1\to A\); l'appartenenza è definita dalla relazione \(A \rightsquigarrow 2^A\) (ossia dalla funzione \(A\times 2^A\to \{0,1\}\)) che manda \((a,U)\) in 1 se \(a\in_A U\), ossia se \(a : 1 \to A\) fattorizza lungo \(i_U : U\to A\) nel triangolo

\xymatrix{
1 \ar@{.>}[dr]\ar[rr]^a&& A \\
&U\ar[ur]&
}

e in 0 altrimenti.

Il problema che vedo qui è, in fondo, solo uno: “come definisco cos’è un insieme con un solo elemento?”

Probabilmente c’è da richiedere l’esistenza di un oggetto fatto come un singleton per assioma.
No, in ZF è un corollario di (parecchi) altri assiomi (scegli tu quale):

  • L'assioma dell'insieme potenza e l'assioma dell'insieme vuoto implicano che \(\{\varnothing\}\) è un insieme, ed esso ha un unico elemento (c'è un unico sottoinsieme in \(\varnothing\)...)
  • l'assioma di rimpiazzamento con la proprietà \(P_\varnothing := [x=\varnothing]\) assicura che esiste l'insieme di tutti gli insiemi che soddisfano \(P_\varnothing\); questo insieme è \(\{\varnothing\}\); ovviamente l'assioma di rimpiazzamento usato in induttivamente in questa maniera genera altri insiemi... che sono tutti singoletti. Infatti i singoletti sono una classe propria (si dimostra per assurdo, supponendo sia un insieme).
  • con l'assioma dell'infinito, esiste un insieme $N$ che sia induttivo; del resto, siccome $N$ è induttivo e \(\varnothing\subset N\), allora \(\varnothing \in N\), ma allora \(\varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\} \in N\), ma allora \(\{\varnothing\} \subseteq N\), e allora \(\{\varnothing\}\) è un insieme (sottoclassi di insiemi sono insiemi).

In ETCS invece l'esistenza di un insieme singoletto è corollario dell'esistenza del prodotto sul vuoto: \(\prod_\varnothing()\cong 1\), dato che la proprietà universale del prodotto \(K=\prod_\varnothing()\) impone l'esistenza di "proiezioni" sui fattori, una per ciascun elemento di \(\varnothing\) (e quindi, nessuna: verità vuota), tali che per ogni altra famiglia \(\{A\to A_i \mid i\in\varnothing\}\), e quindi (verità vuota) per ogni altro insieme \(A\), esista un'unica funzione \(A\to K\); questa proprietà dice esattamente che \(K\) ha un solo elemento: se ne avesse due, ci sarebbe più di una funzione da, diciamo, \(2 := \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\) verso $K$ (si scelgono due elementi diversi di \(K\), cosa che si può fare senza altri assiomi, e si compone con la permutazione non-identica che li scambia di nome).
Ultima modifica di solaàl il 22/11/2019, 01:34, modificato 2 volte in totale.
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Re: [Abstract nonsense] L'insieme vuoto

Messaggioda Gabrio » 22/11/2019, 01:06

Be sono gli unici oggetti che appartengono a se stessi.
Non vedo dove sia il problema, e' l'assioma dell'estensionalita'
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Re: [Abstract nonsense] L'insieme vuoto

Messaggioda gugo82 » 22/11/2019, 01:08

@ solaàl: Non intendevo definire i singleton in ZF né in altra assiomatizzazione della TdI; intendevo definirli in CT.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: [Abstract nonsense] L'insieme vuoto

Messaggioda solaàl » 22/11/2019, 01:33

gugo82 ha scritto:@ solaàl: Non intendevo definire i singleton in ZF né in altra assiomatizzazione della TdI; intendevo definirli in CT.

Certo, appunto: \(1\cong \prod_\varnothing()\), ossia il limite dell'unico funtore \(\varnothing \to \text{Set}\).
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Re: [Abstract nonsense] L'insieme vuoto

Messaggioda Epimenide93 » 22/11/2019, 03:59

otta96 ha scritto:La stessa dimostrazione si può fare per gli $R$-moduli. E tra l'altro vale anche in tutti i gruppi (anche non abeliani). Giusto?

Giusto!

Indrjo Dedej ha scritto:Ah, ormai non vi nascondo che \(\varnothing\) è l'(elemento) iniziale in \(\mathbf{Set}\), anche vi è stato spoilerato.

Ops ^^"

Comunque, noto che il discorso sta prendendo una piega forse inutilmente complicata. La "reinterpretazione" che Indrjo sta abilmente ottenendo per ingegneria inversa di alcune nozioni categoriali può avere, a priori, due scopi

  • Guardare cosa succede in categorie familiari, ed astrarre i fenomeni in linguaggio puramente categoriale per reinterpretarli/riconoscerli altrove;
  • Fare fondazioni interamente basate sulle idee della teoria delle categorie.

Ora, la prima cosa avviene interamente in ZF(C) (o, quando torna comodo, qualche sua estensione non troppo "preoccupante"), l'uso di un diverso paradigma è puramente funzionale alle diverse tecniche dimostrative applicabili una volta inseriti un paio di tool categoriali nella propria cassetta degli attrezzi.

La seconda cosa è un discorso molto più complicato, e per certi versi destinato ad essere o insoddisfacente (la teoria che si ottiene in maniera "ingenua", ETCS, non è espressiva quanto ZFC), o potenzialmente interessante ma andando a scomodare nozioni, tecniche e tecnicismi che vanno ben oltre degli interessi che possono essere "common ground matematico", e che sono quasi esclusivamente appannaggio di una certa sottocategoria (pun intended) di logici (ovvero, toccherebbe parlare di teoria omotopica dei tipi, ma è una cosa di cui farà volentieri a meno chiunque non sia un logico o un informatico, allo stato attuale delle cose).

Spero di non aver spoilerato niente stavolta :P
\( \displaystyle \mathbb{C}^{*} \! \cong \mathbb{R}^{+} \! \times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \)

\( \displaystyle {\rm Hom}(A \otimes B, C) \cong {\rm Hom}(A, {\rm Hom}(B,C)) \)

«(...) per consegnare alla morte una goccia di splendore,
di umanità,
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