Numeri definiti da radicali

[francicko]

Su Wikipedia trovo scritto che tutti i numeri che possono essere scritti usando un numero finito di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, ed estrazioni di radice ennesima con indice intero positivo, sono anch' essi algebrica, allora ad esempio $sqrt(1-sqrt(2))$, è algebrico
Sono confuso, potete darmi qualche chiarimento a riguardo, grazie!

[gugo82]

Se $x=sqrt(1 - sqrt(2))$, allora $x^2 = 1 - sqrt(2)$ e perciò $sqrt(2) = (1-x^2)$, cioè $x^4 - 2x^2 -1 = 0$; dunque $sqrt(1 - sqrt(2))$ è radice del polinomio a coefficienti interi $X^4 - 2X^2 -1$.

In generale, l'idea intuitiva è che puoi ricostruire un polinomio di cui il numero $x$ è radice... Poi sono sicuro che un collega algebrista te lo dirà meglio.

[francicko]

Grazie Gugo!! Avevo intuito che lo era, ed ad esempio il numero radicale $root(3)(sqrt(3)-sqrt(2))$, lo è anch'esso?
In generale tutti i numeri che sono soluzioni di un polinomio a coefficienti razionali con grado $n<=4$ lo sono, ed in generale tutti quelli che sono soluzioni di un polinomio a coefficienti razionali che abbiano gruppo di Galois risolubile?

[gugo82]

Sinceramente non capisco la domanda.
La definizione di numero algebrico la conosci?

[francicko]

Scusa la mia ignoranza, un numero complesso o reale è algebrico se risulta essere soluzione di un qualche polinomio a coefficienti nei razionali, giusto?
Le radici dei polinomi di grado $n<=4$, quindi numeri algebrici, sono numeri radicali, come conseguenza della teoria di Galois, giusto?
Non tutti i numeri radicali sono però algebrici?

[francicko]

Sembrerebbe di sì, cioè ogni numero radicale è algebrico, gli esempi precedenti sono esempi particolari di un fatto più generale, ad esempio il numero radicale $x=sqrt(sqrt(3)-sqrt(2))$,partendo da questa uguaglianza, ed elevando al quadrato abbiamo $x^4=(sqrt(3)-sqrt(2)) ^2=1-2sqrt(6)$ da cui isolando la parte radicale, risaliamo al polinomio a coefficienti razionali $x^8-2x^4-23$, ovviamente non tutti le soluzioni di polinomi a coefficienti razionali possono essere espressi con radicali, cioè essere numeri radicali, è questo è conseguenza della teoria di Galois, che stabilisce le condizioni di risolubilita di un polinomio a coefficienti razionali, e quindi la possibile espressione in termini radicali delle soluzioni;
Quindi solamente quei polinomi a coefficienti razionali con grado $<=4$ o quelli di grado $>=5$ ma aventi gruppo di Galois risolubile hanno come soluzioni numeri radicali, mentre esisteranno numeri algebrici ma non radicali.
Concludendo ogni numero radicale è algebrico, ma non il viceversa. Mi sbaglio?