da francicko » 29/03/2020, 10:23
Sembrerebbe di sì, cioè ogni numero radicale è algebrico, gli esempi precedenti sono esempi particolari di un fatto più generale, ad esempio il numero radicale $x=sqrt(sqrt(3)-sqrt(2))$,partendo da questa uguaglianza, ed elevando al quadrato abbiamo $x^4=(sqrt(3)-sqrt(2)) ^2=1-2sqrt(6)$ da cui isolando la parte radicale, risaliamo al polinomio a coefficienti razionali $x^8-2x^4-23$, ovviamente non tutti le soluzioni di polinomi a coefficienti razionali possono essere espressi con radicali, cioè essere numeri radicali, è questo è conseguenza della teoria di Galois, che stabilisce le condizioni di risolubilita di un polinomio a coefficienti razionali, e quindi la possibile espressione in termini radicali delle soluzioni;
Quindi solamente quei polinomi a coefficienti razionali con grado $<=4$ o quelli di grado $>=5$ ma aventi gruppo di Galois risolubile hanno come soluzioni numeri radicali, mentre esisteranno numeri algebrici ma non radicali.
Concludendo ogni numero radicale è algebrico, ma non il viceversa. Mi sbaglio?
"Anche una sola ingiustizia minaccia la giustizia di tutti."
"Martin Luther King"