Salve di nuovo Martino, spero non sia considerato necroposting, e nemmeno stalking
, ma stavo curiosando sulla tua cronologia risposte. A parte che sono migliaia e non finirò mai, altre non capisco niente perché sono di una complessità che non ho ancora raggiunto e forse mai raggiungerò. Ma su molte ho trovato idee su cui ragionare.
Mi interessava chiedere riguardo questa idea di dimostrazione che è quella che con poche variazioni ho visto con il mio Professore, però non di algebra1 ma di algebra lineare:
Martino ha scritto:Dato il sistema $Ax=b$, scegliamo una soluzione particolare qualsiasi $x_0$, cosicché $Ax_0=b$. Questa $x_0$ è fissata e non varia, è proprio inchiodata (scelta dall'inizio e basta).
Ora chiamiamo $S$ l'insieme delle soluzioni dell'omogenea, cioè $S$ è l'insieme dei vettori $u$ tali che $Au=0$.
Chiamiamo inoltre $T$ l'insieme delle soluzioni di $Ax=b$.
Quello che devi dimostrare è che $T$ è uguale a $E = {x_0+u\ :\ u in S}$.
Prima inclusione: $T subseteq E$. Prendiamo $t in T$, cioè $At=b$, e dimostriamo che esiste $u in S$ tale che $t = x_0+u$. Scegliamo appunto $u = t-x_0$ e dimostriamo che sta in $S$. Questo è ovvio perché $At=b$ e $Ax_0=b$ quindi $Au = A(t-x_0) = At-Ax_0 = b-b = 0$. Fine.
Seconda inclusione: $E subseteq T$. Prendiamo $x_0+u in E$, con $u in S$. Dobbiamo mostrare che è soluzione di $Ax=b$. Ma questo è ovvio, perché $A(x_0+u)=Ax_0+Au=b+0=b$.
E mi stavo divertendo ad applicare quello di cui abbiamo parlato ieri ossia dimostrazioni di esiste unico. Mi chiedevo se riformulare così il testo del teorema potesse avere un senso:
Abbiamo il sistema $At=b$(*) (e $Au=0$), e io dico:
esiste unca di soluzione t (che poi dimostrerò essere: $t=x_0+u$) per il sistema (*).
In questo caso l'unicità è però da intendersi come insieme di soluzioni t ossia quello che in realtà vogliio fare è dimostrare che la t che "esiste unica" è niente popo di meno che scritta come: $t=x_0+u$ per t e u differenti negli insiemi da te descritti. L'unicità è quindi nella "forma" della scrittura. (non so bene come formalizzare questo concetto ma spero sia chiaro che non è una sola t ma un insieme di t)
per lo svolgimento:
1] UNICITA': Assumiamo $S$ insieme di u che risolvono $Au=0$ e supponiamo $t$ soluzione $At=b$, a questo punto è facile mostrare che esiste un $u in S$ tale che $t=x_0+u$ da cui $Au=A(t-x_0)=At-Ax_0=b-b=0$ (usando $u=t-x_0)$. Questo ci dice che se $t$ è soluzione sarà unicamente del tipo $t=x_0+u$ con u in S, quando appunto risolve At=b. A tutti gli effetti E' una unicità.
2] ESISTENZA: ci è sempre possibile prendere $t=x_0+u$ per un qualsiasi $u in S$, basta ora sostituire in $A(x_0+u)$ e ottenere $A(x_0+u)=b$. Fatto!
La cosa interessante è che quando mostro l'esistenza posso prendere una u qualunque (e questo risolve il problema di cui discutevate in queste pagine) perché assunta qualunque u per il punto [2] mostrando che è soluzione trovo che è unicamente della "forma" $t=x_0+u$ proprio per il punto [1] (come ieri detto nell'altra discussione).
Mi sembra filare, ma non capisco se sono in errore o no. Voi/tu che ne pensate/pensi?
Quando imparo qualcosa mi piace cercare di riadattarla un po' in varie situazioni e qui mi sembra andare ma non vorrei aver preso un granchio.