fattorizzazione a me sconosciuta

[blulaserstar]

Salve,
non vi chiedo di spiegarvi quanto ho postato perchè sarebbe veramente troppo.... mi limiterò a chiedervi solamente una cosa!
che ti po di fattorizzazione è? come posso cercarla in rete? perchè io un metodo così non l'ho mai visto

[Valerio Capraro]

è solo la proprietà distributiva nell'anello dei polinomi su $ZZ$.
In poche parole $a(b+c)=ab+ac$, dove $a,b,c$ sono polinomi

[Fioravante Patrone]

blulaserstar,

un polinomio a coefficienti reali può essere sempre fattorizzato così:
- ad ogni radice reale $\alpha$ corrisponde un fattore del tipo $(x-\alpha)$
- ad ogni coppia di radici complesse e coniugate, corrisponde un fattore di secondo grado (cioè del tipo $x^2 + b x + c$)

aggiungo che, proprio perché hai un polinomio a coefficienti reali sei sicuro che per ogni radice complessa c'è anche la sua coniugata

quindi, il fattore $x^4 + 1$ DOVEVA per forza essere fattorizzabile come prodotto di due polinomi di secondo grado

ciao

[carlo23]

aggiungo che, proprio perché hai un polinomio a coefficienti reali sei sicuro che per ogni radice complessa c'è anche la sua coniugata

Già, un risultato di D'Alembert (e ovviamente anche di altri) se non sbaglio. Si dimostra senza troppa difficoltà sapendo che se $P(x+iy)=0$ dove $P$ è un polinomio a coefficienti reali e $x,y$ sono reali allora

$Re(P(x+iy))=0$
$Im(P(x+iy))=0$

Calcolando queste parti reali e immaginari e confrontandole con le parti reali e immaginarie di $P(x-iy)$ si ha il risultato voluto.

Da ciò segue che se abbiamo un polinomio di grado $n$ allora se $n$ è dispari il polinomio ha almeno una radice reale, altrimenti potrebbe avere solo radici complesse.

Ciao Ciao

[blulaserstar]

uhmm vi ringrazio tanto per le vostre risposte ma ammetto di avere troppe lacune su questo argomento perchè continuo a non capire!
dove posso orientarmi per capire meglio questo argomento!

[Fioravante Patrone]

non ti so dare una indicazione su dove trovare info.

Provo ad aggiungere una cosa a quello che ho detto prima, se ti può servire.
Il polinomio di grado 5 è stato prima fattorizzato con un raccoglimento a fattor comune parziale.
Dopodiché resta il fattore $x^4+1$ da scomporre.
I vari $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ sono le radici di questo polinomio, cioè le soluzioni di $x^4 + 1 = 0$.

Come sono state trovate?
Dire $x^4 + 1 = 0$ è come dire $x^4 = -1$. I conti sotto (mi riferisco al tuo foglietto) servono proprio per trovare le soluzioni di questa equazione. La cui soluzione corrisponde a risolvere il problema di trovare le quattro radici complesse di $-1$
Nota che le radici complesse trovate sono a due a due coniugate. Ad esempio $\omega_2, \omega_3$. I conti finali non consistono altro che nel fare il prodotto: $(x - \omega_2)(x-\omega_3)$. Che ti danno un polinomio di secondo grado a coefficienti reali. Come prevede la teoria...
Stessa identica cosa per l'altra coppia di radici complesse

ciao

[blulaserstar]

uhmmm credo di aver capito meglio grazie mille Fioravante...
mi mancano un po di radici complesse ma vedo di sistemarle