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Re: Che differenza c'è tra operazione binaria e applicazione

08/10/2012, 10:11

perfetto

08/10/2012, 10:12

novo80 ha scritto:da ciò mi chiedevo a questo punto la differenza tra funzione e operazione binaria, la funzione a differenza dell'operazione binaria può avere il codominio negl'elementi di B.....dalla definizione letta di operazione binaria invece mi fa capire che il codominio deve essere nello stesso insieme degli argomenti...
Quello che dici è sotanzialmente corretto, ma mi fai pensare che non hai letto i miei post precedenti.
Mi devo ripetere un'altra volta:
Gi8 ha scritto:Una operazione binaria su un insieme $X$ è una qualunque funzione $f:X times X to X$

Re: Che differenza c'è tra operazione binaria e applicazione

08/10/2012, 10:15

ora è chiaro, grazie mille per l'aiuto

Re: Che differenza c'è tra operazione binaria e applicazione

08/10/2012, 10:20

novo, però anche nelle operazioni n-arie, il dominio è differente dal codominio:
\( \displaystyle *: A \times A \rightarrow A \)

dove il dominio \( \displaystyle A \times A := \{(a,b)| a \in A, b \in A\} \) , e il codominio è "solo" \( \displaystyle A=\{a_1,a_2,...\} \) , quindi sono formalmente differenti.

Re: Che differenza c'è tra operazione binaria e applicazione

08/10/2012, 10:23

ok, thanks

Re: Che differenza c'è tra operazione binaria e applicazione?

04/04/2019, 00:12

Dire che "un operazione binaria su un insieme X è una qualunque funzione $f:X×X\rightarrowX$" è come dire che la sua applicazione, cioè "la funzione" è una generalizzazione delle operazioni binarie: l "applicazione" dell'operazione binaria, la cosiddetta 'funzione' è un operazione binaria solo se parafrasiamo la sua definizione inserendola nel contesto di una determinata struttura.

Un operazione binaria è sempre una funzione? Non basta dire 'si'.
Quando un'operazione binaria è dotata della 'struttura di un' iniezione', allora possiamo parlare di 'funzione come operazione binaria' o 'applicazione'
Per capire questa cosa bisogna leggere qui
https://ncatlab.org/nlab/show/subset

In structural foundations of mathematics, this definition doesn't make sense, because there is no global membership predicate $\in$ (and there may not be a global equality predicate either). Accordingly, we define a $\text{subset}$ of $A$ to be a set $B$ with the *structure* of an injection
$$ i\colon B \hookrightarrow A .$$

Per essere applicazione bisogna definire l'operazione binaria come un sottoinsieme di A come un insieme B con la struttura di un'iniezione.

Possiamo allora affermare che le funzioni ovvero le 'applicazioni' (delle operazioni binarie) sono sempre operazioni binarie?
A livello strutturale lo possiamo fare?
Non se manteniamo la struttura dell'operazione binaria! cioè non se l'operazione binaria "è come" un sottoinsieme di A (operazione binaria) come un insieme B con la struttura di un'iniezione (applicazione) !

Invece se l'applicazione ha struttura di un insieme A (non noto) come un sottoinsieme di B (non noto), allora si, ogni applicazione è un'operazione binaria e viceversa se manteniamo anche la definizione dell'operazione binaria come un sottoinsieme di A (operazione binaria) come un insieme B con la struttura di un'iniezione (applicazione).

In questo caso abbiamo la fusione di 2 diverse definizioni in una sola, in questo caso le 2 definizioni sono logicamente equivalenti perchè formano un'identità
https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_bar

questo perchè uso un connettivo logico bicondizionale tra le affermazioni.
https://en.wikipedia.org/wiki/If_and_only_if

In pratica rendiamo indistinguibili una definizione rispetto all'altra perchè cambiamo i valori di verità per la definizione di applicazione (attenzione! non cambio la definizione, ma cambio i valori di verità che strutturano la definizione in senso logico) uniformandola ai valori di verità che la definizione di operazione binaria esibisce come struttura (non basta infatti come definizione), nel mio caso l'ho fatto parafrasando la struttura per la definizione di funzione, l'insieme A e il sottoinsieme B infatti non sono noti perchè tale 'insiemi' non sono dei veri insiemi, ma falsi insiemi, in realtà sono tabelle di verità opportunatamente riscritte per poter fondere le definizioni e renderle indistinguibili, in questo modo ottengo un'identità (logica) per 2 concetti che matematicamente sono diversi, ma non logicamente.

Re: Che differenza c'è tra operazione binaria e applicazione?

04/04/2019, 12:12

Moderatore: Martino

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