[ALGEBRA]campi di spezzamento di polinomi

da **Gaia85** » 10/07/2006, 20:24

ciao!qualcuno sa risolvere questo esercizio?io arrivo a scomporre il polinomio in due polinomi uno di secondo grado e uno di terzo,poi prendo quello di terzo e inserisco un alpha per avere un prima estensione...poi però mi blocco perchè secondo me dovrei inserire un'estensione anche in beta ma penso di perdermi via!!!!
grazie
quest o è il testo:
si consideri il polinomio f(x)=x^5+2x^4+x^2+2x+1 in Z3[X]. si determini il campo di spezzamento K di f(x) su Z3 indicandone il grado e l'ordine e decomponendo esplicitamente il polinomio in fattori lineari su K[x].

da **Valerio Capraro** » 10/07/2006, 22:32

se i polinomi di secondo e terzo grado sono irriducibili hai fatto! Detti $g$ e $h$, aggiungi a $ZZ_3$ uno zero di $g$ ed uno di $h$ (se sono irriducibili hai anche tutti gli altri zeri). Altrimenti devi ridurre ancora.

P.s. Ricordo che la formula risolutiva per polinomi di secondo grado vale su ogni campo, tranne $ZZ_2$

da **Luca.Lussardi** » 11/07/2006, 07:44

.... e forse anche su ogni campo finito di caratteristica 2.

da **Gaia85** » 11/07/2006, 08:59

...Ma se io arrivo a scomporre il polinomio in f(x) = (x- a)(x^2+(a+1)x+a^2+a),poi devo studiare ancora il polinomio di secondo grado, giusto? Se utilizzo la formula per la ricerca delle radici mi viene "a+2" e "a" ma non riesco a verificarlo. Allora pensavo di dover introdurre una seconda estensione b ma poi mi viene tutto di grado 4 (2*2)mentre dovrei avere grado 6…
Scusate se sono pedante…
p.s. a=alpha, b=beta

da **Valerio Capraro** » 11/07/2006, 17:46

hai ragione Luca...

perchè ti viene una estensione di grado 4? il fattore di grado due (se irriducibile) dà una estensione di grado 2 mentre il fattore di grado 3 (se irriducibile) dà una estensione di grado 3.. e quindi in tutto hai una estensione di grado 2*3=6...

scusa, ma se mi scrivi i due fattori di grado 2 e 3 che hai ottenuto forse facciamo prima...

da **Gaia85** » 12/07/2006, 14:19

questo è il polinomio spezzato...f(x) = (x^2 + x + 2)(x^3 + x^2 - 1)....e poi mi viene:
f(x) = (x -a)(x + a + 1)(x - b^2 - 2b - 1)(x + b^2 -1)(x - b)
...giusto?

da **Valerio Capraro** » 12/07/2006, 16:28

scusami ma non mi va affatto di controllare i conti!
quello che ti posso dire è che quei due polinomi sono sicuramente
irriducibili, quindi l'estensione $ZZ_3[a,b]$ ha grado $6$ su $Z_3$.

Ma io alla fine non credo di aver capito qual è il tuo problema

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