Algebra ... Esercizi e Quesiti

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Allora...
Ho , per qualche buona anima , postato qualche esercizio e qualche domanda di algebra.
Ne posterò ancora se dovessi averne bisogno quindi , fino a domenica , controllate gli aggiornamenti.
Mi serve che chiunque risponda , lo faccia con precisione e chiarezza.
ATTENZIONE!!!! Ho postato questi esercizi perchè non mi sono molto chiari quindi non scrivetemi solo il risultato
ma motivatemi le risposte così posso capire il procedimento di risoluzione.


PER CHIUNQUE RISPONDE , GRAZIE , GRAZIE , GRAZIE !!!!!



Esercizi


1) Cos'è un ordine denso? e perchè Z\{0} , Q\{0} , R\{0} , C\{0} , sono ordini densi?

2) Cosa sono le relazioni binarie su un insieme di n elementi?
Quante ce ne sono su un insieme di 2 elementi?

3) Cosa significa "C\R è chiuso per il passaggio all'inverso additivo"?

4) Elencare gli elementi di {z € C : Z^4=i} , quali sono?

5) Quando due elementi sono associati?

6) se la matrice A= (cos(TT/2) -sen(TT/27) e B=(1 1) TT= pigreco
(sen(TT/27 cos(TT/27) (1 1)

6.1 esiste K>=1 t.c. A^k è la matrice identità?
6.2 esistono h , k € Z t.c. h diverso k e A^h = A^k ?
6.3 l'insieme {A^k : k€Z} forma un gruppo rispetto al prodotto di matrici?

7) Elencare almeno 4 sottoanelli di C.

8) Siano f e g funzioni da N a N con f suriettiva.
Per ogni a € N siano Fa={b€N : f(b) = a} Ga={b€N : g(b) = a}

8.1 f*f è suriettiva?
8.2 l'insieme di tutti gli insiemi Ga che non sono vuoti , per a € N è una partizione di N?
8.3 se a diverso b allora Ga intersecato Gb = insieme vuoto ?
8.4 se per ogni a si ha Ga diverso insieme vuoto allora g è suriettiva?
8.5 se g è iniettiva allora f*g è iniettiva?

9) sia la matrice A = (-1 7 4)
(2 4 1)
(0 -2 -1)

e sia k:R^3-->R^3 l'applicazione lineare indotta da A rispetto la base canonica (e1 , e2 , e3)

9.1 k è suriettiva ?
9.2 e1+e2 è nel kernel di k ?
9.3 -e1+2e2 è nell'immagine di k?
9.4 determinare il kernel di k

10) siano a,b,c elementi di un anello commutativo A con C € A*.
supponiamo che a divida b. Dimostrare che pure ac divide b.

11) Scrivere due sottogruppi distinti di S4 , entrambi di ordine 4.
Scrivere due sottogruppi non isomorfi di S4 , entrambi di ordine 4.

12) Completa la seguente formula (cos(k) + i sen(k))^5 = ?

13) Siano U , V , W spazi vettoriali su un campo F, e siano k:U-->V e h:V-->W applicazioni lineari
Dimostrare che h*k:U-->W è una applicazione lineare.



Vero o falso



14) Ogni sottogruppo di S3 è normale?
15) se z=cos(k) + i sen(k) € C allora 1/z=cos(-k) + i sen (-k)
16) se f:Z-->Z è una funzione tale che f*f è la funzione identità allora f è suriettiva
17) Z3xZ3 e Z9 sono isomorfi come gruppi?
Z3xZ2 e Z6 sono isomorfi come gruppi?
esiste un sottogruppo di Z3xZ3 che ha cardinalità 6?
esiste un sottogruppo di Z3xZ3xZ2 che ha cardinalità 6?
18) C\R è chiuso per somma?
R\Q è chiuso per somma?
R\Z è chiuso per somma?
19) C \ {z^2 : z € C} = insieme vuoto ?
C = {z^3 : z € C} ?
R \ {x^2 : x € R} = insieme vuoto ?
R \ {x^3 : x € R} = insieme vuoto ?
20) Linsieme delle matrici invertibili nxn ad elementi in Zm è chiuso per somma ?
Linsieme delle matrici invertibili nxn ad elementi in Zm è chiuso per prodotto ?
21) Il gruppo D4 è ciclico? E' abeliano?
22) Esiste un sottogruppo di D5 isomorfo a D4?
23) Esistono funzioni suriettive ma non invertibili da N a N ?
24) A meno di isomorfismi esiste un solo sottogruppo di cardinalità 37 ?

[Valerio Capraro]

Faccio quelli veloci

5) $a$ è associato a $b$ in un anello $A$ se esiste un elemento invertibile $u\in A$ tale che $a=ub$

7) $nZZ$ è un sottanello di $CC$ per ogni naturale $n$ (basta osservare che $nZZ$ si include in $CC$)

10) dal fatto che $a|b$ segue che $b=ad$ per qualche $d$. Ora $c$ è invertibile e quindi si avrà $d=ce$, essendo $e$
un opportuno coniugato di $d$. Dunque $b=ace$, ovvero $ac|b$.

11) I due sottogruppi di $S_4$ $H_1={id,(12),(34),(12)(34)}$ e $H_2={id,(1234),(13)(24),(1432)}$ non sono isomorfi
in quanto il secondo è ciclico (generato da $(1234)$)e il primo no (tutte permutazioni di ordine $2$)

14) Falso: ci sono tre sgr di ordine $2$ coniugati.

17) Falso: il secondo è ciclico e il primo no. Falso: idem. Falso: per Lagrange un sgr ha ordine che divide
l'ordine del gruppo e $6$ non divide $9=|ZZ_3\oplus ZZ_3|$. Vero: basta prendere $ZZ_2\oplus ZZ_3$.
(più in generale il teorema di Lagrange si inverte per gruppi abeliani; ovvero: Se $G$ è un gruppo abeliano
finito, allora per ogni divisore $d$ del suo ordine esiste almeno un sgr di $G$ di ordine $d$).

18) Falso in tutti i casi. Un controesempio per tutti: $i+(-i)=0$

21) Falso. Falso. (poichè un gruppo ciclico è anche abeliano, basta mostrare che $D_4$ non è abeliano.
Infatti se prendi una opportuna rotazione $\rho$ e una opportuna simmetria $\tau$ si ottiene $\rho\tau\ne\tau\rho$).

22) Falso dal teorema di Lagrange ($8$ non divide $10$).

23) Vero. Prendi la funzione $f$ che ad ogni naturale associa la somma dei suoi fattori primi ciascuno contato tante volte quanto è la potenza con cui compare (ad esempio $f(12)=2+2+3=7$). Essa è banalmente surjettiva. Ma non iniettiva. Ad esempio $f(5)=f(6)=5$

24) Vero perchè $37$ è primo.

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Grazie , quando riesci a trovare un po' di tempo prova a fare anche gli altri.

Grazie a tutti quelli che mi danno un aiuto.

[Valerio Capraro]

mi dispiace ma non credo di aver tempo... domani parto e torno a settembre

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Non ho capito alcune cose di quello che hai scritto :

1) quando due gruppi sono isomorfi? e perchè?
2) nel punto 17.3 e 17.4 basta che 6|3*3 e 6|3*3*2?
3) nel punto 18.3 se da R tolgo Z ottengo Q e q1 + q2= q3 € Q quindi è chiuso no?
4) il gruppo D4 da cosa è formato?

ciao

[Valerio Capraro]

1) due gruppi $(G_1,*),(G_2,#)$ sono isomorfi se esiste una bijezione $\varphi:G_1->G_2$ che conserva le operazioni, ovvero tale che $\varphi(h*g)=\varphi(h)#\varphi(g) \forall h,g\inG_1$

2) Si perchè i gruppi sono abeliani e il teorema di Lagrange si inverte. In generale non è vero, ad esempio l'alterno $A_4$ non ha sgr di ordine $6$.

3) No. Prendi ad esempio $q_1=1/4$ e $q_2= -1/4$. Si ha $q_1+q_2=0$ che non sta in $QQ - ZZ$

4) Dalle simmetrie di un quadrato. è un gruppo di ordine $8$ a due generatori $\tau$ e $\sigma$ e a relazioni $\tau^2=id$, $\sigma^4=id$, $\sigma\tau=\tau\sigma^{-1}$. Con tali relazioni puoi costruire formalmente il gruppo. Da un punto di vista geometrico $\tau$ rappresenta il ribaltamento rispetto ad un asse di simmetria del quadrato e $\sigma$ una rotazione di $(\pi)/4$