Algebra

[Giravite]

Salve a tutti.
Vi propongo un esercizio che non riesco a concretizare.

Determinare l'ultima cifra di 7^41.

Vi ringrazio per la vostra disponibilita'.
BAY alla prossima.

[Fioravante Patrone]

1 7
2 7*7 = 49
3 9*7 = 63
4 3*7 =21
5 1*7 = 7 trovato il ciclo!
...

[laura.todisco]

Se noti, l'ultima cifra si ripete ogni quattro potenze secondo la sequenza 7-9-3-1.
Quindi la 41° potenza avrà come ultima cifra il 7, perchè 41 diviso 4 dà resto 1, quindi prendi la prima delle quattro cifre che si ripetono.

[Giravite]

Alo',saluto e ringrazio chi mi ha dato un ottimo il primo, e chiaro il secondo risultato per
l'eserciszio proposto,ma in questo vorrei capire ,da dove avete formalizzato un tale risultato .
Ringrazio entrambi ancora per la vostra disponibilita,e spero in una vostra risposta.
ALOA e grazie ancora.

[Fioravante Patrone]

grazie per l'ottimo, che direi immeritato
Il mio era solo uno spunto per suggerirti un possibile approccio. E per aderire alla "filosofia" di Luca.Lussardi, uno dei grandi capi di qui dentro

Formalizzare?

Siamo d'accordo che l'ultima cifra si ripete con periodo 4?
L'idea principale per poter garantire questo sta nel fatto che, nel prodotto fra due numeri interi positivi in notazione posizionale e rappresentazione decimale (ma vale anche per altre basi di numerazione...) l'ultima cifra (sottinteso, a destra) dipende SOLO dall'ultima cifra dei due fattori. Dopo di che, una volta che reincontri la cifra 7 non può capitare altro che la successione delle cifre trovate in precedenza si ripeta.
Basta questo?

Una volta stabilito che il periodo è 4, visto che la cifra finale sarà 7 per $7^1, 7^5, 7^9, \ldots$, non resta altro che notare come, partendo da 1 e aggiungendo via via 4 si arriva a $1 + 10*4$. Morale, l'ultima cifra di $7^41$ è proprio, per l'appunto, 7.

ciao

[Luca.Lussardi]

Ti ringrazio Fioravante per aderire alla "mia filosofia", ma guarda che io non sono a capo di nulla eh... non farti ingannare dal fatto che sono Amministratore, perchè a livello di comando non significa niente.

[irenze]

Il modo per formalizzare potrebbe essere questo: l'ultima cifra dipende solo da a quanto è congruo, modulo 10, 7^41.
Dunque facendo le potenze successive puoi scordarti di tutti i multipli di 10 e guardare solo l'ultima cifra...

[Giravite]

Scusate se continuo sul'esercizio ,ma ho necessita di comprendere.
Il dubbio sulla risoluzione di questo,e' dovuta al fatto che non so,se risolvendolo con il piccolo teorema di Fermat
sia correto,vi espongo come lo risolvo.

Se 41 appartiene a P -> poiche' 41 non divide 7 -> 7^40 e congruo a 1 (mod 41) -> 41 appartiene a P. Allora

7^41 e congruo a 7 (mod 41) -> 7 e l'ultima cifra.

Non sono certo pero' se possa essere risolto anche in questo modo.
Scusate l'insistenza,e un grazie a tutti.
BAY.