Insiemistica

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Il punto è che l'assioma della scelta è un assioma di esistenza (come dice Luca, esistenza di una funzione, che è un insieme infinito di coppie ordinate), e affermare l'esistenza di insiemi infiniti è sempre problematico. Inoltre, l'assioma della scelta non va giù molto ai matematici costruttivisti, per i quali per affermare l'esistenza di un elemento devi costruirlo. E' chiaro che non puoi costruire niente con un numero infinito di scelte, e non riesci nemmeno a definire quali siano gli elementi dell'insieme di cui asserisci l'esistenza. Infatti, di solito un'insieme si definisce con una predicato P: l'insieme degli x che soddisfano P. Quando non c'è una proprietà definibile per esprimere quali elementi tu scelga, come fai a dichiarare con certezza che l'insieme esiste, se non sai nemmeno definire i suoi elementi? Non a caso il principio del buon ordinamento equivale all'assioma della scelta. Se tutti gli insiemi sono bene ordinabili, allora c'è un criterio di scelta: scegli da ogni insieme ad esempio il più piccolo elemento del buon ordinamento.

Tuttavia c'è da notare che la maggioranza dei matematici accetta l'assioma di scelta.

[Kroldar]

ecco fields hai colto in pieno, mi riferivo proprio all'equivalenza tra buon ordinamento e assioma di scelta e al fatto che la dimostrazione di zermelo non fu accettata per via della scelta infinita

[Luca.Lussardi]

Non accettare l'assioma della scelta non è solo una questione di "principio costruttivista", ma porta a gravi mancanze.

Per esempio il celebre Teorema di Hahn-Banach, forse il più bel risultato dell'Analisi funzionale lineare, non avrebbe una dimostrazione; i matematici costruttivisti si perderebbero molto, per esempio tutta l'Analisi convessa, che è fondata su Hahn-Banach.

Sottolineo infine che l'assioma della scelta è anche diverso dagli altri 7 che lo precedono in quanto è stato dimostrato che esso non discende dai primi 7 e per di più non contraddice i primi 7 assiomi.
Di conseguenza è a prova di bomba accettare l'assioma della scelta. Tanto se una contraddizione dovesse mai esserci, non sarebbe di certo colpa sua.

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E' vero Luca quello che dici, ma il fatto è che sapere che l'assioma della scelta da solo non provoca contraddizioni, non risolve il quesito: accettarlo o non accettarlo? Per i matematici costruttivisti l'assioma della scelta può portare ad una matematica insensata. E' evidente che aggiungendo un assioma si ottengono teoremi nuovi. Ma se uno non è un puro formalista hilbertiano, per i quali la matematica è un gioco formale, e importa soltanto che sia esente da contraddizioni, potrebbe voler "scegliere" gli assiomi in un altro modo.

Per inciso, io non sono un costruttivista, e accetto l'assioma della scelta, non perché ci sono teoremi interessanti che voglio dimostrare, ma perché mi sembra ragionevole.

[Luca.Lussardi]

Non è che l'assioma della scelta da solo non provoca contraddizioni, questo è banalmente vero per ogni assioma; una teoria assiomatica con un assioma solo è sicuramente coerente.

Quello che è stato dimostrato che se esiste una contraddizione nella teoria ZF7 + assioma scelta, allora la stessa contraddizione c'è nella teoria ZF7. Moralmente si dice che l'assioma della scelta è compatibile con il resto della teoria.

Sono comunque d'accordo con te su come la pensano i matematici costruttivisti, e anche su come la pensi personalmente.
Infatti l'assioma della scelta non è che dia una funzione "astratta", perchè l'assioma stesso parte da un insieme noto, presumibilmente costruito. Quindi potenzialmente abbiamo in mano tutti gli elementi dell'insieme, va solo fatta una scelta, per l'appunto, che forse è meno costruttiva di quella fatta per proprietà, come da Teorema di specificazione.
Anche per me è più che ragionevole aspettare che ciò
sia fattibile, e il fatto che non si incorra in problemi logici mi mette in pace e mi rassicura a sufficienza.

[girl222]

Sono giunta alla conclusione che oggetto equivale ad elemento, non c'è altra spiegazione possibile.

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Eh, eh, Luca, ovviamente non intendevo l'assioma della scelta da solo, come un orfanello.. Una nota scherzosa. Esistono assiomi singoli nel linguaggio della teoria degli insiemi che provocano contraddizione. Prendi gli assiomi della teoria degli insiemi: sia $C$ la formula congiunzione. Ora sia $A$ la formula che afferma il teorema di Cantor. Prendi la formula $C$ implica $A$. Ora prendi la negazione. La formula provoca una contraddizione. Quindi, in linea teorica, anche l'assioma della scelta da solo avrebbe potuto far danni (per fortuna, no!).

Diciamo che per non trovare contraddizione con una sola formula bisogna innanzitutto considerare un calcolo alla Hilbert. Levare tutti gli assiomi logici, scrivere le formule con due soli simboli logici, l'implicazione e la negazione, e ammettere come regola metalogica solo il modus ponens. Immagino che tu intendessi questo.

Per il resto sono d'accordo con te!

[Luca.Lussardi]

No no, io intendevo che una teoria assiomatica costituita da un solo assioma non può essere incoerente, se l'assioma stesso non è una contraddizione.

Purtroppo la Matematica non si può costruire sopra un solo assioma.