Insiemistica

[girl222]

Un elemento è un oggetto contenuto in un insieme, giusto?
Perchè a ∈ A e a "non appartiene" A,
si possono anche leggere rispettivamente:

"l'elemento a appartiene all'insieme A"
"l'elemento a non appartiene all'insieme A"

cioè elemento significa che appartengono già a qualche altro insieme,ogni oggetto appartiene quindi almeno ad un insieme,non so mi genera confusione forse questa lettura o è così?

[Luca.Lussardi]

Bisogna fare molta attenzione a queste cose, si corre il rischio di dire cose che sembrano delle banalità e che poi si scopre essere contraddizioni logiche.

Il termine "elemento" in Matematica non ha una definizione, così come il termine "insieme" in Matematica non è definito, e nemmeno la relazione di appartenenza.

Prima di cominciare la Teoria assiomatica degli insiemi che pone il fondamento a tutta la Matematica, si danno le nozioni "primitive", ovvero le notazioni che si useranno in teoria assiomatica stessa, e si danno senza definizione, poichè non abbiamo ancora cominciato la Matematica. La Matematica si costruirà mettendo insieme questi simboli e usando gli 8 assiomi che permettono effettivamente di costruire qualcosa.

Le relazioni primitive di cui ha bisogno la Matematica sono fondamentalmente due:
1) relazione di appartenenza: $x \in X$, sottindende che $x$ è un elemento dell'insieme $X$.
2) relazione di uguaglianza, che risulta essere di equivalenza: $x=y$, il ruolo di $x$ è interscambiabile con quello di $y$ e ovunque c'è $x$ si può rimpiazzare con $y$.

Detto questo la teoria assiomatica parte, e si badi bene che è rigorosamente permesso usare insiemi, in Matematica, che si possono costruire dalla teoria assiomatica, o da Teoremi da essa dedotti.
Ad esempio l'insieme di tutti gli insiemi non esiste ed infatti in teoria degli insiemi si dimostra che per ogni $x$ esiste $X$ tale che $x$ non appartiene ad $X$.

[girl222]

Dunque se è la scrittura a ∈ A a dirci che a è un elemento, perchè allora si legge in quella maniera?È sbagliato, vero dire "l'elemento a appartiene ad A", eppure su 2 o 3 libri di matematica è scritto proprio così...

[Luca.Lussardi]

Non è sbagliato, ma non è importante; l'importante è scrivere $a \in A$. Questa espressione ha significato, essendo primitiva; che poi $a$ si dice elemento e $A$ insieme non importa.

[girl222]

Anche a me risultava piuttosto assurdo, per questo ho scritto questo post, in ogni caso penso che un modo di leggere così generi molta confusione negli studenti, confonde il concetto di oggetto con quello di elemento

[Kroldar]

a proposito degli assiomi della teoria degli insiemi, con particolare riferimento all'ottavo, l'assioma di scelta... perché tale scelta non può essere effettuata un numero infinito di volte ma necessariamente in numero finito? tanti procedimenti matematici che si ripetono infinitamente sono accettati, perché non è così per l'ottavo assioma?

[Luca.Lussardi]

Che intendi con numero finito di volte?

[Kroldar]

l'assioma di scelta garantisce la possibilità di scegliere un elemento tramite una funzione... se in una dimostrazione si ricorre all'assioma di scelta per scegliere non 1,2,3,...,1000 ma infiniti elementi allora la dimostrazione non è considerata accettabile. perché?

[Luca.Lussardi]

L'assioma della scelta afferma che se $X$ è un insieme non vuoto, allora esiste un'applicazione $F: P(X)-Vuoto -> X$ tale per cui $F(A) \in A$ per ogni $A \in P(X)$ non vuoto.

In poche parole si sta dicendo che esiste una funzione che manda ogni sottoinsieme di $X$ non vuoto in un elemento del sottoinsieme stesso, ovvero posso fare una scelta degli elementi.

Non mi pare che detto così si debbano per forza scegliere un numero finito di elementi.

[Kroldar]

si hai ragione, formalmente l'assioma non contiene limitazioni riguardo al numero di scelte, tuttavia ho letto che in una dimostrazione non si può ricorrere infinite volte a tale assioma, altrimenti la dimostrazione non può essere accettata in quanto si ritiene (non so perché e vorrei tanto saperlo) che una dimostrazione debba essere necessariamente articolata in un numero finito di passaggi. ecco dunque che ai fini dimostrativi l'assioma di scelta subisce delle limitazioni.