Il punto è che l'assioma della scelta è un assioma di esistenza (come dice Luca, esistenza di una funzione, che è un insieme infinito di coppie ordinate), e affermare l'esistenza di insiemi infiniti è sempre problematico. Inoltre, l'assioma della scelta non va giù molto ai matematici costruttivisti, per i quali per affermare l'esistenza di un elemento devi costruirlo. E' chiaro che non puoi costruire niente con un numero infinito di scelte, e non riesci nemmeno a definire quali siano gli elementi dell'insieme di cui asserisci l'esistenza. Infatti, di solito un'insieme si definisce con una predicato P: l'insieme degli x che soddisfano P. Quando non c'è una proprietà definibile per esprimere quali elementi tu scelga, come fai a dichiarare con certezza che l'insieme esiste, se non sai nemmeno definire i suoi elementi? Non a caso il principio del buon ordinamento equivale all'assioma della scelta. Se tutti gli insiemi sono bene ordinabili, allora c'è un criterio di scelta: scegli da ogni insieme ad esempio il più piccolo elemento del buon ordinamento.
Tuttavia c'è da notare che la maggioranza dei matematici accetta l'assioma di scelta.