ho iniziato con i gruppi

[vl4d]

Siano $a,b$ elementi del gruppo $G$. Supponiamo che $a$ abbia ordine 5 e che $a^{3}b=ba^{3}$ dimostrare che il gruppo e' abeliano

[vl4d]

da $a^{3}b=ba^{3}$ segue $a^{3}=ba^{3}b^{-1}$ dunque $ab=a^{6}b=a^{3}a^{3}b=a^{3}ba^{3} = ba^{3}b^{-1}ba^{3}=ba^{6}=ba$

se e' sbagliato insultatemi pure

[Fioravante Patrone]

a me sembra che hai ben sistemato i mattoncini del LEGO, senza il foglio delle istruzioni

[vl4d]

1)
supponiamo che G sia un gruppo, che $x in G$ e che $x$ abbia ordine $rs$
trovare l'ordine di $x^{r}$

amenoche' io non sia ubriaco da $x^{rs} = 1_{G}$ segue che $(x^{r})^{s} = 1_{G}$ dunque l'ordine e' $s$

2)
supponiamo che $x$ abbia ordine $n$, trovare l'ordine di $x^{r}$

direi $|n-r|$

grazie per la pazienza

[Luca.Lussardi]

Ma l'ordine di $x$ non è il minimo intero $h$ per cui $x^h=1_G$?

[vl4d]

si

edit: dunque?

[vl4d]

dimostrare che in un gruppo $G$ l'ordine di $ab$ e' uguale all'ordine di $ba$

supponiamo che l'ordine di $ab$ sia $n$, ovvero $(ab)^{n} = 1_{G}$. allora ho che $b^{n}=(a^{n})^{-1}$ da cui $b^{n}a^{n}=(ba)^{n} = 1_{G}$


sto studiando da solo l'Artin ma gli esercizi sono senza soluzione quindi vi chiederei la conferma per qualcuno di quelli che sto facendo

[Luca.Lussardi]

1)
supponiamo che G sia un gruppo, che $x in G$ e che $x$ abbia ordine $rs$
trovare l'ordine di $x^{r}$

amenoche' io non sia ubriaco da $x^{rs} = 1_{G}$ segue che $(x^{r})^{s} = 1_{G}$ dunque l'ordine e' $s$

Fin qui dimostri solo che l'ordine è un intero che divide $s$.

[fields]

2)
supponiamo che $x$ abbia ordine $n$, trovare l'ordine di $x^{r}$

direi $|n-r|$

grazie per la pazienza

La 2) è sbagliata. L'ordine di $x^r$ dovrebbe essere ${mcm(r,n)}/r$.

[vl4d]

luca:
e se aggiungo che:" se divide $s$ ma e' diverso da $s$ allora e' minore di $rs$ dunque non e' l'ordine di $x$, dunque il piu' piccolo intero $h$ che divide $s$ e tale per cui $x^{rh}=1_{G}$ e' $s$ "?