... cmq sono proprio le prime pagine...
Stavo leggendo qualcosa a riguardo ma mi sono bloccato per 2 motivi:
1- Premessa per capire la situazione:
Vi è un gruppo $G$ che opera su $E$ mediante l'azione $(g,x)->gx$.
Qui si definisce l'orbita del punto $x$ di $E$ rispetto all'azione di $G$ (chiamata $G(x)$) come l'insieme:
$G(x)=(gx|g\inG$)
e si afferma che questi insiemi costituiscono una partizione di E in sottoinsieme a 2 a 2 digiunti.
Fine premessa.
Io mi domando perchè una simile cosa sia vera. Prendiamo per esempio un punto $y=gx$ e supponiamo che la cosa sia vera.
A quanto ho capito, si sa che per ogni $g'$ di G e per ogni $y$ di $E$, esiste un unico $x'$ t.c. $g'x'=y$. Allora deve essere per forza $x'=x$, indipendentemente da $g$, perchè le orbite di $x'$ ed $x$ hanno in comune $y$. Ma questo vuol dire che per ogni $g$ vale $gx=y$.
Cambiando $x$ si conclude che tutte le $g$ sono uguali, ovvero che la rappresentazione di $G$ in $E$ (quella che sta a monte dell'azione) ha come immagine una sola permutazione. Che non è accettabile, cosa sbaglio?
2- poco dopo si afferma che se due elementi x,y appartengono alla stessa orbita, allora i loro stabilizzatori sono gruppi coniugati di G. A parte la tesi, vi è un passaggio poco chiaro per me. Prendiamo h nello stabilizzatore di G:
$y=gx=ghx=ghg^(-1)y=(ad(g)(h))y$
fine "passaggio", ora domana:
Ma la applicazione $ad(g)$ (aggiunta o coniugio rispetto all'elemento g), richiede che $g$ sia un elemento del gruppo, scrivendo $y=gx$, invece $g$ dovrebbe essere l'immagine di $g$ nell'omomorfismo che induce la rappresentazione. Vi è un abuso di notazione o mi sbaglio io??? (non sono molto abituato a questo tipo di scritture)...
Grazie mille in anticipo!
)
