Primi esercizi di Algebra

[Archimede]

Ed eccomi qua con le prime domande
Posto due esercizi il primo non riesco a capire come risolverlo il secondo penso di averlo svolto correttamente. Grazie.
Edit: Vorrei solo un indicazione per l'esercizio numero 1 non lo svolgimento completo. Le nozioni che ho acquisito fino ad ora sono quelle di unione ed intersezione di insiemi (simboli di appartenenza e così via) con relative proprietà.

1.1.1 Siano $S, T$ insiemi. Provare che risulta
$S = T iff EE V$ insieme $: S nn V = T nn V$ e $S uu V = T uu V$

1.1.2. Siano $S, T$ insiemi. Provare che risulta
$(S uu T) nn V = S uu (T nn V) iff S sube V$.

Svolgimento 1.1.2:
Ipotesi: $(S uu T) nn V = S uu (T nn V)$
Tesi: $S sube V$
$dim$ Sia $x in S => x in (S uu T) =>$ a maggior ragione che $x in (S uu T) nn V => x in V$ che verifica la tesi.

Ipotesi $S sube V$
Tesi: $(S uu T) nn V = S uu (T nn V)$
Premessa: $S sube V iff S nn V = S$
$dim$ Sia $x in (S uu T) nn V iff $ per la proprietà distribuitiva dell'intersezione rispetto all'unione $x in (S nn V) uu (T nn V) iff$ per la premessa $x in S uu (T nn V)$. Per cui risulta $(S uu T) nn V = S uu (T nn V). square$

[Archimede]

1.1.2. Siano $S, T$ insiemi. Provare che risulta
$(S uu T) nn V = S uu (T nn V) iff S sube V$.

Svolgimento 1.1.2:
Ipotesi: $(S uu T) nn V = S uu (T nn V)$
Tesi: $S sube V$
$dim$ Sia $x in S => x in (S uu T) =>$ a maggior ragione che $x in (S uu T) nn V => x in V$ che verifica la tesi.

Rivedendo la dimostrazione penso che questa parte sia sbagliata in quanto se $x in S$ non vuol dire che automaticamente $x in (S uu T)$ in quanto potrebbe accadere che $x in T$ .... ok sono ancora in alto mare help

[Thomas]

1.1.2. Siano $S, T$ insiemi. Provare che risulta
$(S uu T) nn V = S uu (T nn V) iff S sube V$.

Svolgimento 1.1.2:
Ipotesi: $(S uu T) nn V = S uu (T nn V)$
Tesi: $S sube V$
$dim$ Sia $x in S => x in (S uu T) =>$ a maggior ragione che $x in (S uu T) nn V => x in V$ che verifica la tesi.

Rivedendo la dimostrazione penso che questa parte sia sbagliata in quanto se $x in S$ non vuol dire che automaticamente $x in (S uu T)$ in quanto potrebbe accadere che $x in T$ .... ok sono ancora in alto mare help

allora...

$x in S=>x in (S uu T)$ è vera!

ciònonostante

$x in (S uu T) =>$ a maggior ragione $x in (S uu T) nn V$

è falsa...

ed il motivo per cui la prima è vera è lo stesso perchè la seconda è falsa. Se ampli l'insieme gli oggetti che c'erano prima ci sono anche adesso, se lo restringi puoi perdere qualcosa...

la seconda freccia non ho capito i tuoi passaggi, o meglio li possto giustificare ma senza la "premessa", che non capisco a cosa ti serve: una volta applicata la proprietà distributiva la tesi è evidente...

e poi hai postato due volte lo stesso problema!!

[Archimede]

Hai ragione Thomas ho fatto una confusione incredibile Ho postato l'esercizio giusto.

Per quanto riguarda la premessa l'ho fatta per il motivo che se applico la proprietà distribuitiva viene:
$x in (S uu T) nn V iff x in (S nn V) uu (T nn V)$ per cui grazie alla premessa posso porre $(S nn V) = S$ e sostituirlo in modo che ho $x in S uu (T nn V)$ che è la tesi che volevamo.

[Thomas]

Hai perfettamente ragione... forse ieri sera ero un pò fuso... in effetti è la proprietà che applicavo anch'io...
Ora cmq resta da completare la prima freccia del secondo esercizio... ...

Per quanto riguarda il primo una freccia è facile:

$=>$ quale sarà mai il $V$? sostituisci le ipotesi...

<= per simmetria ti basta far vedere una inclusione.

2 metodi:
I: se $x\inS$, $x$ starà anche in un insieme più grande. (uno delle ipotesi, altrimenti non te ne fai nulla ). A questo punto sai "quasi" che stà in T. Distingui due casi.
II: elabora le equazioni in modo puramente algebrico con proprietà distributiva e le proprietà descritte nel post sopra. Partendo da $S$ cerca di ottenere una catena di operazioni che termino con $sube T$.

[Archimede]

Credo di esserci per la soluzione completa dell'esercizio 1.1.2, posto la parte mancante:

Ipotesi: $(S uu T) nn V = S uu (T nn V)$
Tesi: $S sube V$
Dim: Sia $x in S => x in S uu (T nn V) => x in (S uu T) nn V => x in V$ che dimostra la tesi.

Era banale, non avevo tenuto conto della tesi ahahahh
Per l'esercizio 1.1.1 avrei bisogno di un ulteriore aiutino (che scommetto banale anche questo ma mi sto scervellando).
Grazie a Thomas e chiunque altro mi aiuterà.

Edito per aggiungere quel poco di procedimento che sono riuscito a fare per 1.1.1

Ipotesi: $EEV : S nn V = T nn V$ e $S uu V = T uu V$
Tesi: $S = T$
Dim $S sube T$: Sia $x in S => x in (S uu V) => x in (T uu V)$ e qui mi blocco. Al limite potrei distinguere i due casi $x in T$ e $x in V$ ma non so come procedere in questo caso.

[Thomas]

Ipotesi: $EEV : S nn V = T nn V$ e $S uu V = T uu V$
Tesi: $S = T$
Dim $S sube T$: Sia $x in S => x in (S uu V) => x in (T uu V)$ e qui mi blocco. Al limite potrei distinguere i due casi $x in T$ e $x in V$ ma non so come procedere in questo caso.

è esattamente il primo dei due metodi di cui parlavo! ... continua dividendo il problema in due sotto-problemi con ipotesi diverse... esattamente quelli che hai descritto!. In un caso sei già arrivato, nell'altro dovrai usare ancora le ipotesi (e quali ipotesi vorrai mai usare? Hai due equazioni di cui una già utilizzata, almeno una volta l'altra la dovrai utilizzare )...

[laura.todisco]

Consiglierei di utilizzare la proprietà di "assorbimento" e dimostrare direttamente l'uguaglianza tra S e T, senza separare le due inclusioni.

[Archimede]

Eccomi , vediamo penso di aver capito:

Ipotesi: $EEV : S nn V = T nn V$ e $S uu V = T uu V$
Tesi: $S = T$
Dim $S sube T$: sia $x in S => x in (S uu V) => x in (T uu v) =>$
1) $x in T$
2) $x in V$ e poichè $x in S => x in (S nn V) => x in (T nn V) => x in T$
Entrambe le condizioni fanno si che sia $x in T$
Reciprocamente si prova $T sube S$ mettendo al posto di $S$ l'insiemde $T$.

Per quanto riguarda la dimostrazione del $=>$
Ipotesi: $S = T$
Tesi: $EEV : S nn V = T nn V$ e $S uu V = T uu V$
Dim: sostituisco $S$ con $T$ ed ho: $T nn V = T nn V$ e $T uu V = T uu V$ e qui mi blocco ancora

(Credo che dovrò cambiare nick, il vero Archimede si starà rivoltando nella tomba )
Grazie.

[laura.todisco]

E perchè ti blocchi? Dovresti dimostrare che "esiste almeno un" insieme V tale che bla bla bla e invece tu hai trovato che $forallV$ le due uguaglianze sono verificate; meglio di così....