Algebra modulare

[Giravite]

Alo' ciao a tutti.
Vorrei chiedervi come risolvereste questo esercizio.

Dimostrare che per ogni a appartenente a Z a^3 congruo a (mod 6)

Vi ringrazio in anticipo di una eventuale risposta Bay Bay

[Eredir]

Ci provo, anche se in algebra modulare non sono un granchè.

Per induzione su $n$. La relazione è banalmente verificata per $n = 0$.
Supponiamo quindi che per un naturale $n$ valga $n^3 -= n (mod 6)$
Dobbiamo mostrare che $(n+1)^3 -= (n+1) (mod 6)$, ovvero $(n+1)^3-(n+1) -= 0 (mod 6)$.

Raccogliendo e moltiplicando si ha $(n+1)[(n+1)^2-1] = (n+1)(n^2+2n) = n(n+1)(n+2) -= 0 (mod 6)$.

Poichè questo prodotto è congruo a 0 modulo 6 si ha la conclusione.
In maniera simile si svolge per $n < 0$.

[Thomas]

ottima la sol di Eredir ma mi chiedo: dove usi l'ipotesi induttiva? ... solo per informazione, il quesito si poteva anche risolvere con una conferma a mano sui casi n=0,1,2,3,4,5, visto che l'equazione avviene mod 6...

[carlo23]

Alo' ciao a tutti.
Vorrei chiedervi come risolvereste questo esercizio.

Dimostrare che per ogni a appartenente a Z a^3 congruo a (mod 6)

Vi ringrazio in anticipo di una eventuale risposta Bay Bay

Il tutto si generalizza nel teorema di Eulero-Lagrange $a^(phi(n)+1) -= a mod n$ per ogni $n in NN^+$ e per ogni $a in ZZ$. La funzione aritmetica $phi(n)$ indica il numero di interi positivi primi con $n$ e minori di $n$.

[Luca.Lussardi]

La soluzione di Eridir è corretta, modulo il fatto che manca la base dell'induzione, se non che dice di dimostrare per $n$ e poi usa $a$, per questo non sembra apparire l'uso dell'ipotesi induttiva.

[Thomas]

non sto dicendo che è errata, anzi... solo che non dice come usa l'ipotesti induttiva, almeno non esplicitamente (per me)... visto che il caso $(a+1)$ si conclude ottimamente anche senza il caso $a$ esattamente con gli stessi passaggi, forse è meglio che espliciti il ragionamento...

[Eredir]

Avete pienamente ragione, vedo di correggere.
Un errore di sincronia dalla brutta in blocco note al messaggio.

In effetti non è essenziale utilizzare l'induzione, è semplicemente la prima cosa che mi è venuta in mente.
Se avete una soluzione più elegante mi piacerebbe leggerla.

[Thomas]

Poichè questo prodotto è congruo a 0 modulo 6 si ha la conclusione.

ecco... ora forse mi si prenderà per rompiballe, ma come lo dimostri???

[Eredir]

ecco... ora forse mi si prenderà per rompiballe, ma come lo dimostri???

Io l'ho verificato a mano, precisamente come dicevi tu alcuni post sopra, ma ho dato per scontato che esistesse un metodo più elegante della forza bruta.

[Thomas]

Va bè... devi cmq dirlo che lo verifichi "a mano", altrimenti... e poi... come lo verifichi "a mano"? Devi specificarle queste faccende in una soluzione, non tutti ragionano "con la tua testa" ...

Il fatto che (a-1)a(a+1) sia divisibile per 6 per è abbastanza evidente in quanto è divisibile sia per 2 che per 3... e questo si può vedere osservando che tra due numeri consecutivi uno è pari e l'altro è dispari e tra 3 numeri consecutivi almeno uno è divisibile per 3...