Algebra modulare

[Eredir]

Va bè... devi cmq dirlo che lo verifichi "a mano", altrimenti... e poi... come lo verifichi "a mano"? Devi specificarle queste faccende in una soluzione, non tutti ragionano "con la tua testa" ...

Il fatto che (a-1)a(a+1) sia divisibile per 6 per è abbastanza evidente in quanto è divisibile sia per 2 che per 3... e questo si può vedere osservando che tra due numeri consecutivi uno è pari e l'altro è dispari e tra 3 numeri consecutivi almeno uno è divisibile per 3...

Sì, ho pensato anch'io in questo modo. Mi sembrava poco elegante dirlo a parole.

[Thomas]

Se l'hai pensata così, la tua NON è una dimostrazione per induzione, nel senso che l'induzione non l'hai proprio usata...

[Eredir]

Se l'hai pensata così, la tua NON è una dimostrazione per induzione, nel senso che l'induzione non l'hai proprio usata...

E' vero, il fatto è che quando ho iniziato a scrivere pensavo potesse servire.
Solo arrivato alla fine mi sono reso conto che bastava fare quella verifica per completare la dimostrazione.
Tuttavia non ho trovato un buon modo per spiegarlo e così ho lasciato quello che avevo scritto...

[giuseppe87x]

Alo' ciao a tutti.
Vorrei chiedervi come risolvereste questo esercizio.

Dimostrare che per ogni a appartenente a Z a^3 congruo a (mod 6)

Vi ringrazio in anticipo di una eventuale risposta Bay Bay

Il tutto si generalizza nel teorema di Eulero-Lagrange $a^(phi(n)+1) -= a mod n$ per ogni $n in NN^+$ e per ogni $a in ZZ$. La funzione aritmetica $phi(n)$ indica il numero di interi positivi primi con $n$ e minori di $n$.

Il suddetto teorema però risulta essere valido sse $gcd(a,6)=1$.
E poi non era il teorema di Eulero-Fermat o ricordo male?

[carlo23]

E poi non era il teorema di Eulero-Fermat o ricordo male?

Deve essere come dici...ricorderò male. Questi teoremi portano sempre il nome di 2 o 3 persone perchè sono stati scoperti indipendentemente da più matematici... poi un bel pò di teoremi portano il nome di Fermat anche se lui gli aveva solo congetturati

[fields]

E poi non era il teorema di Eulero-Fermat o ricordo male?

Il primo ad aver dimostrato il teorema è Fermat, Eulero lo ha generalizzato usando la funzione phi, e il teorema di Lagrange lo generalizza ulteriormente dimostrando che se $G$ è un gruppo finito, per ogni $a\in G$, $a^{|G|}=1$, dove $|G|$ è il numero di elementi del gruppo. Quindi possiamo dire che il teorema di Eulero-Fermat, più che un risultato di teoria dei numeri, sia un risultato di teoria dei gruppi.

[Thomas]

scusa Field, ma non dovrebbe essere $|G|-1$?

e poi una domandina... ci vuole l'ipotesi $G$ abeliano??

[fields]

scusa Field, ma non dovrebbe essere $|G|-1$?

e poi una domandina... ci vuole l'ipotesi $G$ abeliano??

No, è $|G|$. Inoltre, l'ipotesi $G$ abeliano non serve. Questo è il bello dell'astrazione! La prova del teorema di Lagrange è diversa dalla prova del caso particolare Eulero-Fermat, che invece sfrutta la commutatività.

[Thomas]

già, per questo chiedevo: interessante! ... ma $ZZ$/$p$ non ha $p$ elementi???

[fields]

già, per questo chiedevo: interessante! ... ma $ZZ$/$p$ non ha $p$ elementi???

Sì, ma stiamo considerando il gruppo moltiplicativo modulo $p$ (che ha $phi(p)$ elementi) non quello additivo (che ne ha $p$)!