È algebrico sul campo K?

[mauro742]

Sia F un'estensione di K.
Un elemento $y in F$ si dice algebrico su $K$ se esiste un polinomio $a(x) in K[x]$ tale che $a(y)=0$


Ho ad esempio questo esercizio:
Dire se $a = 3 + 2^(1/3)- 4^(1/3)$ è algebrico su $QQ$.

Come trovo il polinomio per dare la risposta al quesito?

Grazie,

Mauro

[Thomas]

io farei così:
1- verifica che se p(x) ed è in $QQ[x]$ e si annulla in a, p(x-b) si annulla in a+b ed è in $QQ[x]$ se b razionale. Questo semplifica il problema;

2- sia a=2^(1/3), incomincia con:

$(x-a+a^2)(x+a)= x^2+2-a^2(1+x)$

ed ora utilizza note identità per ottenere $q(x)=(x^2+2)^3-a^6(1+x)^3$... che e è a coefficienti razionali... con la radice richiesta, o quasi...

[Luca.Lussardi]

Anche senza trovare il polinomio si puo rispondere; infatti $\alpha=2^(1/3)$ è algebrico su $\QQ$ con grado $3$, per cui $\QQ(\alpha)$ è uno spazio vettoriale su $\QQ$ di dimensione $3$, e $3+\alpha-\alpha^2$ è un elemento di $\QQ(\alpha)$, quindi algebrico.

[Alexp]

Ciao, io non mi intendo molto, però procederei cosi, essendo che:
In algebra, una estensione di campo L/K è detta algebrica se ogni elemento di L è algebrico su K, cioè se ogni elemento di L è una radice di qualche polinomio non nullo a coefficienti in K.

Dunque nel tuo esempio i coefficienti del polinomio devo appartenere a Q ed "a" deve essere la radice di quel polinomio.

per esempio

p(x)=(x-a)(x+a)=x^2-a^2 è uguale a zero per +-a dunque essendo che 1 e -1(i coefficienti) appartengono a Q e "a" è una radice......dovrebbe "a" essere algebrico su Q.

Comunque ripeto prova anche a sentire qualcun'altro, perchè io non mi intendo.

[Alexp]

Se ho "cannato" in modo clamoroso, qualcuno mi corregga così anche io imparo qualcosa di nuovo!!!!

[mauro742]

Anche senza trovare il polinomio si puo rispondere; infatti $\alpha=2^(1/3)$ è algebrico su $\QQ$ con grado $3$, per cui $\QQ(\alpha)$ è uno spazio vettoriale su $\QQ$ di dimensione $3$, e $3+\alpha-\alpha^2$ è un elemento di $\QQ(\alpha)$, quindi algebrico.

Grazie mille per questa spiegazione, era quello che cercavo.

Invece $1-13^(1/6)+13^(2/5)$ non è algebrico su $QQ$ o sbaglio?

Grazie ancora,

Mauro