teoria dei gruppi

[Thomas]

E' che c'è qualche fraitendimento... un passaggio era scontato per me all'inizio ed invece non era vero... ora ce n'è un altro per me scontato, spero che non si ripeta come prima... in ogni caso nei post precedenti c'è un $n-1$ al posto di un $n$ da qualche parte... non correggo perchè l'errore è "a monte" ed è dovuto ad un mio cambiamento di notazione "work in progress"... :

cmq se dico quello è chiaro?ecco qua!

$((a_1...a_n a_u^{-1})^i)^( (p_1..p_n)/p_u )=1$

per ogni $a_z$ con $z!=u$, vale

$(a_z)^[i*(p_1..p_n)/p_u]=((a_z)^(p_z))^[i(p_1...p_n)/(p_up_z)]=1$

visto che $a_z^(p_z)=1$ perchè $p_z$ è l'ordine di $[a_z]$

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Rispondo domani perché ora non capisco più niente!

[Thomas]

Guarda ti faccio un riassunto con dei copia-incolla, così è più chiaro... mi sa che ieri eravamo entrambi un pò fusi ...

Lemma1: in un gruppo $[b]$, se $b^k=1$, allora l'ordine del gruppo divide $k$.

dim: Sia $u$ l'ordine del gruppo. Se $k<u$ ho un assurdo per definizione di ordine. Se k=u la tesi è vera. Se $k>u$, esistono $q$ ed $r$ naturali t.c. $k=qu+r$, con $0<=r<u$. In tal caso:

$b^k=b^(qu+r)=(b^(u))^qb^r=b^r=1$

da cui r=0, altrimenti avrei una contraddizione perchè $r<u$.

Lemma 2: se l'ordine di $[a]$ è primo, e se $a^i!=1$, allora $[a]=[a^i]$.

dim: questa ti andava bene, quindi non la ricopio.

Problema:

Sia $|G|=p_1...p_n$.
Ho letto il teorema di Cauchy sulla rete: grazie ad esso possiamo affermare che esistono $a_i$, t.c. $[a_i]$ è isomorfo al gruppo moltiplicativo $Z_(p_i)$ (ove in quel modo indico il gruppo generato).

Claim: Allora $[a_1a_2...a_n]$ genera $G$, ovvero il suo ordine è $p_1...p_n$.

infatti sia $i$ il più piccolo naturale per cui $(a_1a_2...a_n)^i=1$, ovvero l'ordine di $G$.

Vale: $(a_1a_2..a_n)^(p_1..p_n)=1$ perchè:
$(a_1)^(p_1..p_n)...(a_n)^(p_1..p_n)=1..1=1$
e quindi per il lemma 1, $i|p_1..p_n$.


Supponiamo per assurdo che $p_u$ per un qualche u non divida $i$, allora

$(a_u)^(i)!=1$ e $(a_1..a_na_u^(-1))^i!=1$

$(a_1..a_(n)a_u^(-1))^i=(a_u)^(-i)$

da cui

$[( a_1..a_(n)a_u^(-1) )^i]=[(a_u)^(-i)]$

e per il lemma 2:

$[( a_1..a_(n)a_u^(-1) )^i]=[(a_u)]$

confrontiamo gli ordini dei gruppi ottenuti:

$[(a_u)]=p_u$

del primo gruppo sappiamo che:

$((a_1...a_n a_u^{-1})^i)^( (p_1..p_n)/p_u )=1$

infatti elevando a potenza i singoli fattori, per ogni $a_z$ con $z!=u$, vale

$(a_z)^[i*(p_1..p_n)/p_u]=((a_z)^(p_z))^[i(p_1...p_n)/(p_up_z)]=1$

visto che $a_z^(p_z)=1$ perchè $p_z$ è l'ordine di $[a_z]$

quindi per il lemma1 l'ordine del gruppo divide $(p_1..p_n)/p_u$. Ma l'ordine del gruppo è anche $p_u$ e questo è una contraddizione. Quindi ogni fattore $p_i$ divide $i$, da cui $p_1..p_n|i$.

Essendo due numeri che si dividono reciprocamente sono uguali ed $i=p_1..p_n$, che è la tesi.

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Bene, Thomas, adesso sì che la dimostrazione è scritta come si deve! Perfetta!

Io invece ho dimostrato il teorema svelando quale la struttura ha il gruppo $G$.
Si definisce il gruppo prodotto $G_1xxG_2xx...xxG_n$ fra i gruppi $G_1,G_2,...,G_n$ come il prodotto cartesiano di tali gruppi equipaggiato con l'operazione $(a_1,...,a_n)(b_1,...,b_n)=(a_1b_1,...,a_nb_n)$. Ora ipotizzando che $G_1,...,G_n$ siano ciclici e $|G_1|,...,|G_n|$ siano primi fra loro a coppie, ho dimostrato che $G_1xxG_2xx...xxG_n$ è ciclico e ha ordine $|G_1|...|G_n|$.
Successivamente ho dimostrato che se $a_1,...,a_n$ sono gli elementi di $G$ di ordine rispettivamente $p_1,...,p_n$, allora $G$ è isomorfo al gruppo prodotto $<a_1>xx...xx<a_n>$, dove $<a_i>$ è il sottogruppo generato da $a_i$. Da qui la tesi.