teoria dei gruppi

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Vediamo se qualcuno mi può aiutare. Io non sono esperto di teoria dei gruppi. In questi giorni, però, giocando un po' con i gruppi, ho dimostrato il seguente teorema.

Sia $G$ un gruppo finito abeliano e $|G|$ il numero di elementi di $G$ (ovvero, l'ordine di $G$). Se $|G|$ è prodotto di numeri primi distinti, allora $G$ è ciclico.

Vi torna? O è una baggianata?

[Luca.Lussardi]

Mi sembra che sia una conseguenza anche del Teorema di struttura dei gruppi finiti, quindi che sia vero; ma è meglio che qualche algebrista intervenga in proposito.

[vl4d]

ho iniziato da pochissimo anch'io con i gruppi, cmq so che il teorema di lagrange implica che se $|G|$ e' un numero primo e $a in G$, $a != 1_{G}$ allora G e' il ciclico generato da $a$

perche' non posti la dimostrazione con $|G|$ prodotto di primi?

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Anch'io ne so poco di teoria dei gruppi, conosco per ora il teorema di Lagrange e il teorema di Cauchy. Siccome ho dimostrato il teorema in poche righe e utilizzando solo questi due risultati, ti propongo di provarci per esercizio!

[vl4d]

non ci riesco pero' mi e' venuta in mente una cosa: ogni gruppo ciclico e' abeliano. il gruppo diedrale $D_{6}$ e' famoso per essere il piu' piccolo gruppo non abeliano. e l'ordine e' $3*2$ ...

[Luca.Lussardi]

... e allora $D_6$ non sarà ciclico. Dove sta il problema?

[vl4d]

field: non avevo letto che supponevi il gruppo abeliano

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Lo immaginavo! Testa fra le nuvole...

[Thomas]

Ci provo...

Sia $|G|=p_1...p_n$.
Ho letto il teorema di Cauchy sulla rete: grazie ad esso possiamo affermare che esistono $a_i$, t.c. $[a_i]$ è isomorfo al gruppo moltiplicativo $Z_(p_i)$ (ove in quel modo indico il gruppo generato).

Allora $[a_1a_2...a_n]$ genera $G$, ovvero il suo ordine è $p_1...p_n$.

infatti sia $i$ il più piccolo naturale per cui $(a_1a_2...a_n)^i=1$, e supponiamo che $p_u$ non divida $i$, allora

$(a_u)^(i)!=1$ e $(a_1..a_na_u^(-1))^i!=1$

$(a_1..a_(n)a_u^(-1))^i=(a_u)^(-i)$

da cui

$[( a_1..a_(n)a_u^(-1) )^i]=[(a_u)^(-i)]$

$[a_1..a_(n)a_u^(-1)]=[a_u]$

ma l'ordine di $a_u$ è $p_u$, mentre l'ordine di $[a_1...a_(n)a_u^(-1)]$ divide perlomeno $(p_1..p_(n-1))/(p_u)$ (NB: qui si utilizza la commutatività di G) che non contiene $p_u$ e quindi essendo i primi distinti vi è un assurdo.

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Sì, Thomas, l'idea è quella. Non mi sono molto chiari alcuni passaggi però... Comunque anche se esposti diversamente la sostanza non cambia!

ps: Teorema di Cauchy: Se $p$ primo divide $|G|$, allora $G$ ha un sottogruppo di ordine $p$. Dunque tale sottogruppo è ciclico e quindi sarà isomorfo al gruppo additivo $ZZ_p$!