Teoria degli insiemi - Esercizi 1.1.5 e 1.1.6

[Archimede]

Posto di seguito questi altri due esercizi (in seguito posterò la soluzione/richiesta di aiuto) magari possono servire anche a qualcuno che inizia come me lo studio dell'Algebra.

1.1.5 Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi. Provare che
$S \\ T = S \\ V iff S nn T = S nn V$.

1.1.6 Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta
$(S \\ T) \\ (T \\ S) = S \\ T.

[Archimede]

Vediamo, penso di aver risolto la 1.1.6 ma nella dimostrazione del $supe$ penso di aver forzato un po':

Soluzione 1.1.6:
$(S \\ T) \\ (T \\ S) = S \\ T$

dim $sube$:
Sia $x in (S \\ T) \\ (T \\ S) =>$ poichè $S \\ T sube S$ e $T \\ S sube T => S \\ T$ che dimostra l'inclusione

dim $supe$:
Sia $x in S \\ T => x in (S \\ T) uu (S nn T) =>$ poichè dire che $x in S nn T => x !in (S \\ T)$ e $x !in (T \\ S) => x in (S \\ T)$ o $x !in (S \\ T)$ e $x !in (T \\ S) => x in (S \\ T) \\ (T \\ S)$.



P.S. Se qualcuno puo' darmi solo un input per l'esercizio 1.1.5 ... grazie

[Nidhogg]

Per la seconda inclusione:

Tu scrivi: Sia $x in S \\ T => x in (S \\ T) uu (S nn T)$. Perchè scrivi $x in (S \\ T) uu (S nn T)$?? Da dove salta fuori?

Ciao!

[Archimede]

Perchè sappiamo che $S \\ T sube S$ per cui ogni elemento di $(S \\ T)$ è anche elemento di $S$, ed essendo $(S \\ T) uu (S nn T) = S$ allora posso scrivere $x in (S \\ T) uu (S nn T)$

[Eredir]

Per l'1.1.5 credo possa essere utile il risultato dimostrato nell'esercizio 1.1.4.

[Archimede]

Hai ragionee Eredir. vediamo:

Soluzione 1.1.5
Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi. Provare che:
$S \\ T = S \\ V iff S nn T = S nn V$

dim $rArr$:
Premessa: Qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$ risulta che $S \\ (S \\ T) = S nn T$.
Ipotesi: $S \\ T = S \\ V$
Tesi: $S nn T = S nn V$
dim: Sia $x in S nn T iff$ per la Premessa $x in S \\ (S \\ T) iff$ per ipotesi che $x in S \\ (S \\ V) iff$ per la premessa che $x in S nn V$ che dimostra la tesi.

Con quella proposizione era semplice, ora mi resta di provare la $lArr$ ci penserò su e poi editerò per mostrare la mia soluzione definitiva. (Se qualcuno puo' controllare i miei passaggi di questo e l'altro esercizio segnalandomi errori grazie).

[Archimede]

Posto la soluzione completa al 1.1.5:

Soluzione 1.1.5
Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi. Provare che:
$S \setminus T = S \setminus V \Leftrightarrow S \cap T = S \cap V$

dim $\Rightarrow$:
Ipotesi: $S \setminus T = S \setminus V$
Tesi: $S \cap T = S \cap V$
Proposizioni:
1. Siano $S$, $T$ insiemi. Risulta che $S \setminus (S \setminus T) = S \cap T$
dim: Sia $x \in S \cap T \Leftrightarrow$ per la proposizione 1 che $x \in S \setminus (S \setminus T) \Leftrightarrow$ per l'ipotesi che $x \in S \setminus (S \setminus V) \Leftrightarrow x \in S \cap V$ che dimostra la nostra tesi.

dim $\Leftarrow$:
Ipotesi: $S \cap T = S \cap V$
Tesi: $S \setminus T = S \setminus V$
Proposizioni:
1. Siano $S$, $T$ insiemi. Risulta che $S \setminus T = S \setminus (S \cap T)$.
dim: Sia $x \in S \setminus T \Leftrightarrow$ per la proposizione 1 che $x \in S \setminus (S \cap T) \Leftrightarrow$ per l'ipotesi che $x \in S \setminus (S \cap V) \Leftrightarrow$ per la proposizione che $x \in S \setminus V$ che dimostra la nostra tesi.

Abbiamo cos' dimostrato l'equivalenza.

Se potete date un'occhiata alle risoluzioni dei due esercizi 1.1.5 e 1.1.6 tanto per vedere se ho sbagliato qualcosa o se proponete soluzioni alternative. Grazie come sempre

[Thomas]

Vediamo, penso di aver risolto la 1.1.6 ma nella dimostrazione del $supe$ penso di aver forzato un po':

Soluzione 1.1.6:
$(S \\ T) \\ (T \\ S) = S \\ T$

dim $sube$:
Sia $x in (S \\ T) \\ (T \\ S) =>$ poichè $S \\ T sube S$ e $T \\ S sube T => S \\ T$ che dimostra l'inclusione

dim $supe$:
Sia $x in S \\ T => x in (S \\ T) uu (S nn T) =>$ poichè dire che $x in S nn T => x !in (S \\ T)$ e $x !in (T \\ S) => x in (S \\ T)$ o $x !in (S \\ T)$ e $x !in (T \\ S) => x in (S \\ T) \\ (T \\ S)$.



P.S. Se qualcuno puo' darmi solo un input per l'esercizio 1.1.5 ... grazie

Prima inclusione: prendi un elmento che stà a sinistra e dimostri che è incluso in $S$ e fin quà ci siamo. Poi vorresti dimostrare che non è incluso in T, ma vorresti dedurlo dal fatto che a destra è stato tolot un sottoinsieme di $T$? Se è così, non basta e dovresti dimostrare che togli tutto $T$, oppure perlomeno una parte di $T$ che ti interessa...

Seconda inclusione: x non può stare in $S nn T$, visto che non stà in $T$. Quindi i casi che distingui sono inutili... prova a "sfoltire" la dimostrazione così vediamo se è corretta...

Consigli:
- utilizza la notazione e le proprietà dell'insieme complementare;
- Leggi bene cosa devi dimostrare e fatti un disegnino (la classica rappresentazione dell'insieme come cerchiolino con dentro tutti i suoi elementi): la tesi dice che prendi S, ci togli T ed ottieni un insieme. A questo insieme togli un insieme contenuto in T, che hai già tolto, quindi non togli nulla. In effetti $S \\ T$ e $T \\ S$ sono disgiunti!

[Thomas]

Posto la soluzione completa al 1.1.5:

Soluzione 1.1.5
Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi. Provare che:
$S \setminus T = S \setminus V \Leftrightarrow S \cap T = S \cap V$

dim $\Rightarrow$:
Ipotesi: $S \setminus T = S \setminus V$
Tesi: $S \cap T = S \cap V$
Proposizioni:
1. Siano $S$, $T$ insiemi. Risulta che $S \setminus (S \setminus T) = S \cap T$
dim: Sia $x \in S \cap T \Leftrightarrow$ per la proposizione 1 che $x \in S \setminus (S \setminus T) \Leftrightarrow$ per l'ipotesi che $x \in S \setminus (S \setminus V) \Leftrightarrow x \in S \cap V$ che dimostra la nostra tesi.

dim $\Leftarrow$:
Ipotesi: $S \cap T = S \cap V$
Tesi: $S \setminus T = S \setminus V$
Proposizioni:
1. Siano $S$, $T$ insiemi. Risulta che $S \setminus T = S \setminus (S \cap T)$.
dim: Sia $x \in S \setminus T \Leftrightarrow$ per la proposizione 1 che $x \in S \setminus (S \cap T) \Leftrightarrow$ per l'ipotesi che $x \in S \setminus (S \cap V) \Leftrightarrow$ per la proposizione che $x \in S \setminus V$ che dimostra la nostra tesi.

Abbiamo cos' dimostrato l'equivalenza.

Se potete date un'occhiata alle risoluzioni dei due esercizi 1.1.5 e 1.1.6 tanto per vedere se ho sbagliato qualcosa o se proponete soluzioni alternative. Grazie come sempre

Questa mi pare vada, anche se potevi concludere senza queste proprietà.
Se utilizzi la notazione del complementare ti accorgi subito che basta dimostrare solo una freccia e poi più o meno arrivi in qualche modo con le due inclusioni...