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Ciao a tutti ,vorrei chiedervi come risolvereste questo exe.

Sia p appartenente P con p>2. Dimostrare che per ogni x,y appartenente Z vale:

Se x congruo y (mod p) => x^p congruo y^p (mod p^2).

Grazie aloa.

Giravite ha scritto:Ciao a tutti ,vorrei chiedervi come risolvereste questo exe.

Sia p appartenente P con p>2. Dimostrare che per ogni x,y appartenente Z vale:

Se x congruo y (mod p) => x^p congruo y^p (mod p^2).

Grazie aloa.

Piccolo teorema di Fermat (ma non ve lo han fatto studiare?):

dato un numero primo $p$ per ogni intero $a$ si ha $a^p -= a mod p$.

Si dimostra in tal modo, abbiamo la formula $(x+1)^p=sum_(j=0)^p ((p),(j))x^j$, costatiamo che $j!(p-j)!((p),(j))=p!$ e dato $p$ divide il membro destro dividerà un fattore del membro sinistro e se $0<j<p$ allora $p$ non divide ne $j!$ ne $(p-j)!$ per cui $p|((p),(j))$ e segue $(x+1)^p -= x^p +1 mod p$. Se il teorema di Fermat è vero per $x$ allora è vero per $x+1$, infatti sarà $x^p -= x mod p$ e $(x+1)^p -= x^p +1 -= x+1 mod p$, infine il teorema è sicuramente vero per $x=0$ da cui parte l'induzione.

Ciao Ciao

Scusa la mia miopia, ma non riesco a vedere dove sfrutti l' ipotesi se x = y (mod p),e poi
non riesco a capire come arrivi all' assunto finale x^p = y^p (mod p^2)
Ti ringrazio per la tua risposta e scusa l'insistenza, BAY BAY

Giravite ha scritto:Scusa la mia miopia, ma non riesco a vedere dove sfrutti l' ipotesi se x = y (mod p),e poi
non riesco a capire come arrivi all' assunto finale x^p = y^p (mod p^2)
Ti ringrazio per la tua risposta e scusa l'insistenza, BAY BAY

In realtà noto solo adesso che è x^p = y^p (mod p^2) mentre avevo letto x^p = y^p (mod p^2) !! Quindi la miopia mi sa tanto che è mia

Ora devo proprio andare, vedo se mi riesce di postare più tardi... comunque seguirebbe dalle proprietà delle congruenze e dal teorema che ti ho detto sopra

carlo23 ha scritto:(...) In realtà noto solo adesso che è x^p = y^p (mod p^2) mentre avevo letto x^p = y^p (mod p^2) !!

...devo avere anch'io qualche problema alla vista, forse
dovuto anche al fatto che non posso visualizzare le
formule: Carlo, scusami l'intromissione, ma dove sarebbe
la tua svista? A me sembrano ugualiuguali...
Adesso provo a rileggere per bene tutto il topic.

tranquillo, Bruno
sono davvero proprio ugualiugualiuguali