esercizi di algebra

[vl4d]

scusa ma allora non ho capito cosa centra il fatto che se $|G|=p$ e' primo allora G e' il ciclico di ordine p con quello che stavamo dicendo ?!?

[goldengirl]

siccome il tuo teorema non è corretto, l'ho modificato, rendendolo però come una conseguenza di una definizione.....

[fields]

Ho creato un altro semplice esercizio, che riguarda una costruzione molto importante.

Siano $H$ e $K$ sottoinsiemi di un gruppo $G$. Definiamo $HK={hk | h\in H \text{ e } k\in K}$.

Siano ora $H$ e $K$ due sottogruppi di un gruppo $G$. Dimostrare che $HK$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se per ogni $a\in HK$, $a^(-1)\in HK$ (in altri termini, $HK$ è un sottogruppo di $G$ sse $HK$ è chiuso per elemento inverso.)

[vl4d]

we, in questi giorni sono stato impegnato con un esame... ma adesso sono LLLLibero!
Come al solito, probabilmente e' piu' semplice ma:

Mini-Lemma, sia $S$ un insieme non vuoto di un gruppo G. S e' sottogruppo(indico con $S <= G$) di G se e solo se $forall x,y in S$ $xy^-1 in S$

Ora, se $HK$ e' sottogruppo abbiamo subito che $a in HK -> a^-1 in HK$
viceversa:
$HK$ diverso dal vuoto, l'associativita' e' garantita perche' $H, K$ sottogruppi
Se considero un generico $kh$, il fatto che $h^-1k^-1 in HK$ implica $kh in HK$, ovvero $kh = h_{k}k_{h}$ per qualche $h_{k},k_{h}$. Allora prendo $h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^-1 = h_{1}k_{1}k_{2}^-1h_{2}^-1 = h_{1}k_{3}h_{2}$. Dato che $k_{3}h_{2} in HK$ ho $k_{3}h_{2} = h_{k_{3}}k_{h_{2}}$, da cui $h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^-1 = h_{1}h_{k_{3}}k_{h_{2}} in HK$, quindi HK e' sottogruppo per il Mini-Lemma.

sto provando a mostrare che HK e' sottogruppo se e solo se HK = KH, dovrebbe essere fattibile no?

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sto provando a mostrare che HK e' sottogruppo se e solo se HK = KH, dovrebbe essere fattibile no?

Non esattamente, ma non ci sei lontano. Infatti, siano $H,K$ sottogruppi di un gruppo $G$. Allora le seguenti proposizioni sono equivalenti:

1) $HK$ è un sottogruppo di $G$.

2) $KH\sube HK$

3) $a\in HK$ implica $a^(-1)\in HK$.

Corollario 1: se $G$ è abeliano, $HK$ è un sottogruppo di $G$.

Corollario 2: se $H, K$ sono sottogruppi normali di $G$, $HK$ è un sottogruppo normale di $G$.

Ah, dimenticavo: la tua soluzione è giusta.