Teoria degli insiemi - Esercizi 1.1.7 e 1.1.8

[Archimede]

E rieccomi qui con nuovi quesiti

1.1.7
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$, $T$, $V$, risulta:
$(S \setminus T) \setminus V = S \setminus (T \cup V)$

1.1.8
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$, $T$, $V$, risulta:
$(S \setminus T) \setminus V \subseteq S \setminus (T \setminus V)$

Al piu' presto spero di postare le soluzioni corrette. (o chiederò aiuto )
Ciau ^_^

[Archimede]

Proviamo a risolvere la 1.1.7

1.1.7
$S$, $T$, $V$ insiemi. Provare che risulta:
$(S \setminus T) \setminus V = S \setminus (T \cup V)$

dim:
$\subseteq$: $(S \setminus T) \setminus V \subseteq S \setminus (T \cup V)$.
Sia $x \in (S \setminus T) \setminus V \Rightarrow x \in S \setminus T$ e $x \notin V \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T$ e $x \notin V \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T \cup V \Rightarrow x \in S \setminus (T \cup V)$ che dimostra l'inclusione.

$\supseteq$: $S \setminus (T \cup V) \subseteq (S \setminus T) \setminus V$.
Sia $x \in S \setminus (T \cup V) \Rightarrow$ per le leggi di DeMorgan $x \in (S \setminus T) \cap (S \setminus V) \Rightarrow x \in (S \setminus T)$ e $x \in (S \setminus V) \Rightarrow$ da entrambi gli insiemi abbiamo che $x \in S$ e che $x \notin T$ e $x \notin V$ per cui possiamo scrivere $x \in (S \setminus T) \setminus V$ che dimostra la seconda inclusione.

Entrmbe le inclusioni sono verificato e ciò provano la nostra uguaglianza.

Credo che la seconda inclusione forse sia un po' forzata. Datemi le vostre correzioni se potete grazie

[Archimede]

Risolviamo la 1.1.8

1.1.8
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$, $T$, $V$, risulta:
$(S \setminus T) \setminus V \subseteq S \setminus (T \setminus V)$.

Sia $x \in (S \setminus T) \setminus V \Rightarrow x \in (S \setminus T)$ e $x \notin V \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T$ e $x \notin V \Rightarrow x \in S$ e $x \notin (T \cup V) \Rightarrow x \in S$ e $x \notin (T \setminus V) \Rightarrow x \in S \setminus (T \setminus V)$ che verifica l'inclusione

Datemi un'occhiata per vedere se ho fatto errori grazie.

[goldengirl]

se la stanchezza non mi inganna, il primo esercizio va bene....

il secondo ho qualche perplessità riguardo a questa implicazione....
$ x \in S$ e $x \notin (T \cup V) \Rightarrow x \in S$ e $x \notin (T \setminus V)$

[leev]

$ x \in S$ e $x \notin (T \cup V) \Rightarrow x \in S$ e $x \notin (T \setminus V)$

visto che $T \setminus V sube T \cup V$ è ok l'implicazione.

Ciao

[vl4d]

edit: ok, hanno gia' risposto

[Archimede]

Ringrazio tutti, a breve posterò altri quesiti a cui cercherò di dar risposta Buona giornata

[malcom.f]

e bravo Loganino :D