Platone ha scritto:Qualcuno ha un'idea per questi esercizi?
1) Sia G un gruppo abeliano finito, e per ogni suo elemento d, sia G(d) l'insieme degli elementi x di G tali che xd=0. Se per ogni p primo che divide l'ordine di G, G(p) è ciclico, allora G è ciclico;
1) Intanto credo che sopra volessi scrivere: "Sia G un gruppo abeliano finito, e
per ogni intero d , sia G(d) l'insieme degli elementi x di G tali che xd=0".
Ti do ora una traccia della dimostrazione, lasciandoti la dimostrazione di alcuni punti. Per il teorema fondamentale sui gruppi abeliani finiti, $G=A_1 o+ A_2 o+.... o+ A_n$ è somma diretta di sottogruppi ciclici, ciascuno avente ordine $q^a$, per qualche primo $q$. Ora, se $G(p)$, con $p$ primo, è ciclico, segue che $|G(p)|=p$ (lascio a te la dimostrazione, tra l'altro questo è il punto fondamentale). Poiché per ogni $i,j$ distinti, abbiamo $A_i nn A_j={0}$, segue che non ci possono essere $i,j$ distinti tali che $|A_i|=p^(a_1)$ e $|A_j|=p^(a_2)$, altrimenti avremmo almeno $2p-2$ elementi di ordine $p$, e quindi avremmo $|G(p)|>p$. Dunque gli ordini dei sottogruppi ciclici $A_i$ sono primi fra loro a coppie e da questo fatto segue che $G$ è ciclico (lascio a te la dimostrazione, comunque è un fatto noto).