Logica - il più internamente possibile..

[hanicker]

Cosa vuol dire "esprimere la negazione il più internamente possibile" riferito alla frase "non a se solo se B"? Vi ringrazio in anticipo per la spiegazione..

[Luca.Lussardi]

L'esercizio richiede di negare la frase $A < = > B$ portanto il non più dentro possibile nella frase stessa. $A < = > B$ è vera quando $A$ e $B$ hanno lo stesso valore di verità, quindi la sue negazione sarà una frase falsa se $A$ e $B$ hanno lo stesso valore di verità, e vera invece se $A$ e $B$ hanno valori di verità opposti. Ne segue che la negazione di $A < = > B$ è la frase o $A$ o $B$.

Non volendo ricorrere al o-o, uno può vedere $A < = > B$ come $A = > B$ e $B = > A$; sapendo che negare $A = > B$ equivale a dire $A$ e non$B$ si ha che la negazione di $A < = > B$ è la frase ($A$ e non $B$) o ($B$ e non$A$).

[anonymous_be1147]

Ma non è "ambigua" la frase "non A se e solo se B"?

Cioè, come si esprimono a parole queste due proposizioni

$\neg ( A \Leftrightarrow B )$

$\neg A \Leftrightarrow B$



non "A se e solo se B" e "non A se e solo se B"

[Luca.Lussardi]

Io ho interpretato come la prima che hai scritto dal momento che la domanda era di portare la negazione all'interno della frase, quindi la seconda interpretazione non poteva essere.

Comunque sì, senza l'uso di parentesi la scrittura è ambigua.

[hanicker]

La ringrazio per la risposta. Posso postare di seguito un altro dubbio? E' riferito all'affermazione "per ogni valore di x appartenente all'insieme dei numeri naturali, esiste uno e uno solo y appartenente all'insieme dei numeri relativi tale che y minore o uguale di (x-2).. L'esercizio mi chiede di dire se l'affermazione è vera e falsa e, nel caso sia falsa, dimostrare che la negazione è vera. Chiaramente l'affermazione è falsa. Ma non capisco come negarla:

Il "per ogni" lo trasformo in "almeno uno", l'"esiste uno e uno solo" in "esiste più di un valore" (o in un "per ogni"??). Per cui "dato almeno un valore di x appartenente a N, per ogni valore di y appartenente a Z vale l'affermazione y maggiore di (x-2).. Però non è vero. Credo che l'unico modo per ottenere un'affermazione vera sia utilizzare un valore di y negativo.. Quindi esiste un valore di y per cui per ogni x appartenente a N vale y minore o uguale di x-2 .. Cosa posso fare? L'esercizio successivo è analogo: "esiste almeno 1 valore x appartenente a N t.c. per ogni valore di y appartenente a Z si che y <= x-2 ..

[Luca.Lussardi]

Anzitutto qui sul forum è proibito darsi del lei.

Poi veniamo al problema: si tratta di negare la frase
$\forall n \in \NN t.c. \exists ! y \in \ZZ : y \le x-2$.

Il quantificatore $\forall$ diventa $\exists$ seguito dalla negazione della frase restante; allo stesso modo il quantificatore $\exists ! y$ diventa "esiste più di un $y$ seguito dalla frase restante; quindi la negazione sarà:
$\exists n \in \NN t.c.$ esiste più di un $y \in \ZZ$ tale per cui $y \le x-2$ che è vera; basta prendere $n=1$, $y=-1$ e $y=-2$.

Il tuo errore stava nel negare il quantificatore $\exists !$, che non corrisponde a negare $\exists$.

[Luca.Lussardi]

Per maggiore completezza riporto come si definisce $\exists!$ e come si nega in astratto.

Sia data la frase $\exists! x \in X : P(x)$; ci proponiamo di negarla. Allo scopo essa equivale alla frase
($\exists x \in X : P(x)$) e ($\forall x_1,x_2 \in X: [P(x_1) e P(x_2)] = > x_1=x_2$).
Potrebbe sembrare una complicazione, ma la negazione diventa molto chiara; infatti è
($\forall x \in X : nonP(x)$) o ($\exists x_1,x_2 \in X : [P(x_1) e P(x_2)] e (x_1 \ne x_2)$).

Il signifcato è chiaro: negare l'esiste ed è unico significa dire che per tutti i valori di $x$, $P(x)$ è falsa, oppure che ne esistono almeno due diversi per cui è vera.

[hanicker]

Ti ringrazio ancora una volta per l'aiuto che mi hai dato. E prometto che non ti darò più del lei .. Inizio quest'anno i corsi per Ingegneria Informatica (3+2).. Per cui sono sicuro di iniziare una lunga "amicizia" con questo utilissimo forum. So che gli esami di matematica sono abbastanza impegnativi. E un forum dove risolvere i propri dubbi (chiaramente dopo aver riflettuto a lungo) ci voleva proprio.

[anonymous_be1147]

Comunque sì, senza l'uso di parentesi la scrittura è ambigua.

In effetti dal punto di vista logico le due proposizioni sono equivalenti $\neg(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow (\neg A \Leftrightarrow B)$, mi incuriosiva più che altro l'aspetto linguistico.

Grazie.