Risolviamo la 1.1.10
1.1.10
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$, $T$ e $V$, risulta:
$S \setminus (T \setminus V) = (S \setminus T) \cup (S \cap V)$.
$\subseteq$ : $S \setminus (T \setminus V) \subseteq (S \setminus T) \cup (S \cap V)$
Sia $x \in S \setminus (T \setminus V) \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T \setminus V \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T$ o $x \in V \Rightarrow$ abbiamo due casi:
1) $x \notin T \Rightarrow x \in S \setminus T \Rightarrow x \in (S \setminus T) \cup (S \cap V)$
2) $x \in V \Rightarrow x \in S$ e $x \in V \Rightarrow x \in S \cap V \Rightarrow x \in (S \setminus T) \cup (S \cap V)$
Entrambi i casi portano allo stesso risultato che dimostra l'inclusione.
$\supseteq$
(S \setminus T) \cup (S \cap V) \subseteq S \setminus (T \setminus V)$
Sia $x \in (S \setminus T) \cup (S \cap V) \Rightarrow x \in (S \setminus T)$ o $x \in S \cap V \Rightarrow$ abbiamo due casi:
1) $x \in S \setminus T \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T \setminus V \Rightarrow x \in S \setminus (T \setminus V)$.
2) $x \in S \cap V \Rightarrow x \in S$ e $x \in V \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T \setminus V \Rightarrow x \in S \setminus (T \setminus V)$.
Anche in questo caso i due casi portano allo stesso risultato che dimostra l'inclusione.
Entrambe le inclusioni sono verificate per cui si è dimostrata l'uguaglianza.
Ringrazio chiunque voglia apportare delle correzioni (se necessitano).