Gruppi

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Un altro esercizio esteticamente pregevole di teoria dei gruppi.

Siano $G$ un gruppo finito e $H$ e $K$ sottogruppi di $G$. Allora $|HK|=(|H||K|)/(|H nn K|)$.

[karl]

Vedi se va bene questa.
$|A|*|B|$ indica il numero totale degli elementi dell'insieme X
ottenuto "moltiplicando" un elemento di A per un elemento di B.
In tale insieme ogni elemento si presenta ripetuto tante volte
per quante ne indica il numero $|AnnB|$.
E' allora evidente che $(|A|*|B|)/(|AnnB|$ restituisce il numero
degli elementi tutti distinti di X ovvero la cardinalita' di AB
karl

[Platone]

Si, ma bisogna dimostrare che efettivamente il numero di volte che compare ogni elemento di X e' proprio quello.
Non e' cosi' ovvio.

Platone

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$|A|*|B|$ indica il numero totale degli elementi dell'insieme X
ottenuto "moltiplicando" un elemento di A per un elemento di B.
In tale insieme ogni elemento si presenta ripetuto tante volte
per quante ne indica il numero $|AnnB|$.

Dice bene Platone. L'affermazione va dimostrata, non è un'affermazione ovvia (tra l'altro, sempre che sia vera, su due piedi non so, devo pensarci).

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Ci ho pensato e karl dice giusto: ogni elemento si ripete $|H nn K|$ volte. Naturalmente la parte non banale della dimostrazione consiste proprio nel provare questo fatto.

[karl]

E' proprio cosi' :la parte critica del quesito e' quella.
Mi sono divertito ,per cosi' dire !,a verificare la cosa per il gruppo
delle radici 12-esime dell'unita' (rispetto al prodotto ordinario)
ed i suoi sottogruppi formati dalle radici terze e quarte sempre dell'unita'.
Ora mi piacerebbe che deste la dimostrazione generale.
Grazie
karl

[Thomas]

Provo a completare la tua dimostrazione karl, fornendo la traccia... ho perso quanto scritto prima, per questo sarò stringato... purtroppo farete più difficoltà a capire se i passaggi sono corretti o meno... chiedete cmq

Definisco
$U_m={(h,k) in HxK | hk=m}$
$A_m={k in K t.c. mk^(-1) in H}$

con due relazioni iniettive mostro che gli insiemi sono equipotenti.

Poi si vede che:

- $|A_1|=|K \cap H|$;

- $|A_m|=|A_n|$ per ogni $m,n$ in $HK$

quest'ultimo passaggio è il più delicato:

pongo $m=h'k'$, $n=h''k''$ la seguente funzione:

$f: |A_m|=>|A_n|, f(k)=k^(-1)mk''$

1) è ben definita. infatti $n(k^(-1)mk'')^(-1)=h''m^(-1)k$ che per ipotesi è in $H$;
2) è iniettiva per le proprietà dei gruppi.

quindi $|A_m|<=|A_n|$. la dis opposta per simmetria e quindi segue l'uguaglianza;

da qui $U_m=|K \cap U|$ per ogni $m$ in $HK$.

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Ok Thomas, la dimostrazione è giusta, ma la dovresti espandere con i passaggi mancanti. Solo la funzione che hai definito dovrebbe essere $f(k)=km^(-1)k''$, avrai fatto un errore di battitura, correggi.

Comunque, rispetto alla mia dimostrazione ci sono delle definizioni più complicate, anche se in un ultima analisi equivalenti. Io ho usato la tecnica del teorema di Lagrange e la prova viene concettualmente più lineare. La posterò.

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Poiche' $H nn K$ e' un sottogruppo di $H$ sappiamo dal teorema di Lagrange che possiamo definire la relazione di equivalenza su $H$

$a~b$ sse $b^(-1)a \in H nn K$.

Sia $H//~$ la partizione in classi di equivalenza di $H$: ogni classe di equivalenza ha $|H nn K|$ elementi e dunque ci sono $|H|/(|H nn K|)$ classi di equivalenza.

Supponiamo ora $[a]=[b]$. Mostriamo che $aK=bK$. Sia $ak_1\in aK$. Poiche' $b^(-1)a \in H nn K$, abbiamo che $b^(-1)a\in K$ e dunque $b^(-1)a=k_2$, con $k_2\in K$, e dunque $a=bk_2$, e quindi $ak_1=bk_2k_1\in bK$. Dunque $aK\sube bK$, e simmetricamente $bK\sube aK$, dunque $aK=bK$.

Inoltre, se $[a]\ne [b]$, abbiamo che $aK nn bK=O/$. Infatti, in caso contrario avremmo $ak_1=bk_2$ e dunque $b^(-1)a=k_2k_1^(-1)$ e dunque $b^(-1)a\in H nn K$, dunque $a~b$ e $[a]=[b]$, assurdo.

Sia ora $h\in H$ e $[h]\in H//~$. Dimostriamo che $[h]K=hK$. Siano $h,h_1,...h_n$ gli elementi di $[h]$. Abbiamo che $[h]K=hK uu h_1K uu ... uu h_nK=hK uu hK uu ... uu hK=hK$.

Siano ora $[h_1],..., [h_n]$ le classi di equivalenza di $H//~$. Abbiamo che $HK=[h_1]K uu .... uu [h_n]K=h_1K uu ... uu h_nK$. Poiche' $n=|H|/(|H nn K|)$ e le classi $h_iK$ e $h_jK$ sono disgiunte per $i\ne j$e hanno ciascuna $|K|$ elementi, concludiamo che $|HK|=(|H||K|)/(|H nn H|)$.

[Thomas]

ok... cercherò di modificare i passaggi...

cmq a leggere la tua dimostrazione quasi mi sento in colpa per aver postato la mia (che termina quella di karl cmq) ... ma non si può pretendere molto, visto le mie infime conoscenze...

beh alla prox... saluto i gruppi... per quest'anno non ne dovrei più sentir parlare...