BINOMIO DI NEWTON

[freccia_nera]

Ciao a tutti.... qualcuno sa dirmi come si può verificare questo col binomio di Newton?

(n = ( n
k) n-k)

In parole, perchè forse non si capisce tanto... n su k = n su n - k

L'ha dato la prof a lezione e ha detto di provarlo... ma non capisco cosa bisogna fare...

Grazie...e ciao a tutti!!!

[karl]

E' sufficiente notare che si tratta degli stessi numeri.Infatti
$((n),(k))=(n!)/(k!(n-k)!)$
Analogamente:
$((n),(n-k))=(n!)/((n-k)!(n-(n-k))!)=(n!)/(k!(n-k)!)$
Dal punto di vista puramente combinatorio si puo'
notare che ad ogni scelta di k elementi su n
corrisponde la scelta dei rimanenti n-k.
karl

[freccia_nera]

E' sufficiente notare che si tratta degli stessi numeri.Infatti
$((n),(k))=(n!)/(k!(n-k)!)$
Analogamente:
$((n),(n-k))=(n!)/((n-k)!(n-(n-k))!)=(n!)/(k!(n-k)!)$
Dal punto di vista puramente combinatorio si puo'
notare che ad ogni scelta di k elementi su n
corrisponde la scelta dei rimanenti n-k.
karl

Intanto grazie... ma perchè saltano fuori il n! e k!?

[karl]

Si sa che:
$((n),(k))=(n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/(k(k-1)(k-2)...1)$
Moltiplicando "sopra e sotto" per (n-k)!:
$((n),(k))=(n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)!)/(k(k-1)(k-2)...1(n-k)!)$
Ovvero:
$((n),(k))=(n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)(n-k-1)(n-k-2)...1)/((k(k-1)(k-2)...1)(n-k)!)=(n!)/(k!(n-k)!)$
karl

[freccia_nera]

Si sa che:
$((n),(k))=(n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/(k(k-1)(k-2)...1)$
Moltiplicando "sopra e sotto" per (n-k)!:
$((n),(k))=(n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)!)/(k(k-1)(k-2)...1(n-k)!)$
Ovvero:
$((n),(k))=(n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)(n-k-1)(n-k-2)...1)/((k(k-1)(k-2)...1)(n-k)!)=(n!)/(k!(n-k)!)$
karl

grazie... ora è più chiaro tutto e ho capito....
buona domenica.....CIAO!!!