Teoria degli insiemi - Esercizi 1.1.13 e 1.1.14

[Archimede]

Ecco altri esercizi:

1.1.13
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta
$(S \setminus T) \cup (S \cap T) = S$.

1.1.14
Siano $X$ e $Y$ parti di un insieme $S$. Provare che risulta
$X \subseteq Y \Leftrightarrow S \setminus Y \subseteq S \setminus X$.

A presto per la soluzione o richiesta di aiutooo

[Luca.Lussardi]

Questi esercizi con dei disegnini vengono subito; poi c'è la parte noiosa della verifica, al solito fatta per estensionalità.

[goldengirl]

Questi esercizi con dei disegnini vengono subito; poi c'è la parte noiosa della verifica, al solito fatta per estensionalità.

il mio prof dice che non sia molto istruttivo utilizzare i diagrammi di Venn.....
è una fesseria o....?

[Fioravante Patrone]

il mio prof dice che non sia molto istruttivo utilizzare i diagrammi di Venn.....
è una fesseria o....?

è una fesseria

ma forse il prof voleva dire che uno deve anche imparare a provare per via "analitica" le affermazioni di questo tipo. Intendo dire, fare quelle dimostrazioni su cui proprio Archimede sta lavorando in questo periodo

Mi pare che i due approcci abbiano un ruolo complementare. Le dim "stile Archimede" servono ad impratichirsi nel maneggiare correttamente il formalismo "insiemistico" e l'uso corretto della logica. I diagrammi di Venn (o di Eulero) hanno un funzione straordinaria nell'offrire una percezione "visiva" di queste cose


Tra l'altro, sono sicuro (per forza dell'abitudine alla mate) che i diagrammi di Eulero/Venn si possano usare anche per dimostrare queste cose, con tutti i "crismi".
Le proposizioni che si trovano nei post di Archimede dovrebbero avere la proprietà che basta un universo finito per verificare se sono vere o false.
E allora in questo contesto non vedo cosa possa impedire di poter ottenere una dim corretta per via "grafica".
Non ho mai approfondito la cosa, anche se potrebbe valere la pena farlo. Questo tipo di idea non vdo perché non si possa estendere alla dim "grafica" di teoremi della geometia euclidea, a proprietà di base degli spazi topologici, delle strutture d'ordine, etc.
Il "contrappasso" è che richiede forse un baraccone (enorme?) di logica e teoria dei modelli. E, quando uno si è abituato a questo baraccone, non ha senso "ritornare sopra" a quelle questioni di carattere elementare.

[goldengirl]

come sempre chiarissimo ed esauriente nelle risposte!

per il mio prof giusto una precisazione....
per lui vale la solo le dimostrazioni "stile Archimede"
i diagrammi di Venn/Eulero servono solo per far capire alle scuole medie come funzionano gli insiemi.....

incomincio a dubitare che i miei prof sono alquanto diversi dalla normalità.....
e questo è sicuramente nocivo per me......

[fields]

Tanto per spiegare quello a cui accennava Fioravante, gli esercizi di Archimede si possono anche risolvere in maniera del tutto meccanica. Infatti interpretando le operazioni fra insiemi come connettivi logici, si tratta semplicemente di dimostrare che una data formula della logica proposizionale è valida.

Ad esempio, il primo esercizio equivale a dimostrare la validità della formula:

$(S ^^ not T) vv (S ^^ T) harr S$

Basta allora provare meccanicamente tutte combinazioni di valori di verità per $S$ e $T$, quindi $(V,V),(V,F),(F,V),(F,F)$ e verificare che la formula risulta sempre vera.

[Fioravante Patrone]

Una precisazione, fields.
Quello che dici è corretto (ed è lo "isomorfismo" che esiste tra la insiemistica di base e calcolo proposizionale).

Io, però, intendevo un'altra cosa.
Cioè l'esistenza di un "isomorfismo" tra l'insiemistica di base e i disegnetti alla Eulero/Venn.
Per poter avere l'"OK" ad usare i disegnetti come parte integrante di una dim, c'è bisogno, credo, di qualcosa che abbia a che fare con la teoria dei modelli (in logica).

[Archimede]

Sono riuscito a risolvere in parte la 1.1.13

1.1.13
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$ risulta:
$(S \setminus T) \cup (S \cap T) = S$

$\subseteq$: $(S \setminus T) \cup (S \cap T) \subseteq S$.
Sia $x \in (S \setminus T) \cup (S \cap T)$, poichè $S \setminus T \subseteq S$ e $S \cap T \subseteq S \Rightarrow x \in S \cup S \Rightarrow x \in S$.

$\supseteq: $S \subseteq (S \setminus T) \cup (S \cap T)$
Sia $x \in S$, per la proprietà di assorbimento $\Rightarrow x \in S \cup (S \cap T)$ ed abbiamo due casi:
1) $x \in S$ non so come continuare
2) $x \in S \cap T \Rightarrow x \in (S \setminus T) \cup (S \cap T)$

Mi servirebbe solo un input per la condizione 1 Grazie.

[Archimede]

Risolviamo la 1.1.14

1.1.14
Siano $X$ e $Y$ parti di un insieme $S$. Provare che risulta:
$X \subseteq Y \Leftrightarrow S \setminus Y \subseteq S \setminus X$.

$\Rightarrow$
Ipotesi: $X \subseteq Y$
Tesi: $S \setminus Y \subseteq S \setminus X$.
dim: Sia $x in S \setminus Y \Rightarrow x \in S$ e $x \notin Y$, ma se $x \notin Y$ a maggior ragione non appartiene ad un sottoinsieme di $Y$ da cui per ipotesi $\Leftrightarrow x \notin X \Rightarrow x \in S$ e $x \notin X \Rightarrow x \in S \setminus X$.

$\Leftarrow$
Ipotesi: $S \setminus Y \subseteq S \setminus X$
Tesi: $X \subseteq Y$
dim: Sia $x \in X \Rightarrow x \notin S \setminus X \Rightarrow x \notin S \setminus Y \Rightarrow x \in Y$.

[Archimede]

Aggiungo la parte mancante all 1.1.13 ahahha dopo tanti giorni sono riuscito a venirve a capo in poco piu' di qualche secondo..arghhh

1.1.13

$\supseteq$: $S \subseteq (S \setminus T) \cup (S \cap T)$
Sia $x \in S \Rightarrow$ due casi
1) $x \in T \Rightarrow x \in S$ e $x \in T \Rightarrow x \in S \cap T \Rightarrow x \in (S \setminus T) \cup (S \cap T)$.
2) $x \notin T \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T \Rightarrow x \in S \setminus T \Rightarrow x \in (S \setminus T) \cup (S \cap T)$.
Anche la seconda inclusione è dimostrata vera il che dimostra l'uguaglianza.

Fine a presto con altri esercizi gh