Calcolo Combinatorio

[Fr4nc1x]

Allora la soluzione del libro è 4410. Io col mio ragionamento ottengo 8820 che è esattamente il doppio.
Però secondo me il tuo ragionamento non fa una piega. Perché dividendo le coppie libere in due tipologie quando poi fai la permutazione delle coppie uguali libere giustamente consideri le ripetizioni. Ma allora il risultato del libro è sbagliato?

[superpippone]

Le possibilità sono solo 2: o è sbagliato sul libro, oppure ho sbagliato io.....

[Fr4nc1x]

Forse non devi dividere le cifre libere in due tipologie. Considerale tutte e poi quando fai le permutazioni dividi ulteriormente per 2! per togliere le coppie xy uguali. Quindi abbiamo 6!/2!2!2!. Moltiplichiamo per 49 e viene 4410.

[milizia96]

Il risultato è 4410 e ci si può arrivare così:
$C(6;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $1$
$C(4;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $2$
$7^2$ modi di scegliere come sono le due cifre rimanenti.
Moltiplicando tutto viene $4410$

Il ragionamento di superpippone fallisce nel caso che i due numeri liberi siano diversi: ognuno di quelli lo conta due volte.
Ad esempio consideriamo il numero $112234$. Esso viene contato due volte perché:
prima lo conto scegliendo come cifre "libere" $3$ e $4$, e scrivendole in questo ordine.
dopo lo conto scegliendo come cifre "libere" $4$ e $3$ scrivendole nell'ordine inverso.

[superpippone]

Si, mi scuso.
Pensandoci ieri sera mi ero accorto di avere sbagliato.
In effetti, ad esempio, consideravo la diverse le coppie 1-3 e 3-1, per poi contarle un'altra volta nelle permutazioni.
Ogni tanto, ho sensazioni di onnipotenza......
Avrei dovuto fare $(6!)/(2!*2!)*21+(6!)/(2!*2!*2!)*7=180*21+90*7=3.780+630=4.410$
Ma forse è un po' troppo ingarbugliato.....

[mpg]

Il risultato è 4410 e ci si può arrivare così:
$C(6;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $1$
$C(4;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $2$
$7^2$ modi di scegliere come sono le due cifre rimanenti.
Moltiplicando tutto viene $4410$

.

Non riesco a capire questa risposta per la domanda "Quanti sono i numeri di 6 cifre che contengono 2 volte esatte la cifra 1, 2 volte esatte la cifra 2 e non contengono la cifra 0?"
in particolare
$C(4;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $2$
$7^2$ modi di scegliere come sono le due cifre rimanenti.