ho un piccolo problema nella comprensione di una dimostrazione. Cito dal libro su cui sto studiando:
Sia r = p/q \in Q un numero razionale positivo con p > 0, q > 0 interi. Si ha, mediante divisioni
successive:
p/q = c0 + p0/q
p0/q = c1 + p1/10q
p1/q = c2 + p2/10q
... = cn + pn/10q
Qui sotto dimostra che con l'algoritmo di qui sopra non si ottengono mai numeri con periodo 9
Supponiamo per assurdo r=0.$\bar{9}$. Poichè 0 $\leq$ pn < q, dalla 1.2.1 si deduce che per ogni n:
c0 + 9/10 + 9/10^2 + ... + 9/10^n $\leq$ r < c0 + 9/10 + 9/10^2 + ... + 9/10^n + 1/10^n
Poichè 9/10 + 9/10^2 + ... + 9/10^n + 1/10^n = 1, le disuguaglianze precedenti diventano:
$\forall$ n 1 - 1/10^n < r - c0 < 1
o anche:
$\forall$ n 0 < c0 + 1 - r < 1/10^n
il che è assurdo
Non riesco a comprendere quale sia l'assurdo. Per quanto mi riguarda $\forall$ n :
1 - 1/10^n < r - c0 < 1 mi risulta corretta
ovvero:
0.99999... [non periodico perchè n è finito] < 0,$\bar{9}$ < 1
Spero possiate aiutarmi a comprendere.
Grazie a tutti.
