inseme delle parti non numerabile

da **vl4d** » 03/10/2006, 17:53

Come si dimostra che l'insieme delle parti P di un insieme _infinito_ e _numerabile_ S non e' numerabile?

da **goldengirl** » 03/10/2006, 18:04

io so che ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile....

da **vl4d** » 03/10/2006, 18:07

si anch'io, ma questo dovrebbe aiutarmi?

da **goldengirl** » 03/10/2006, 18:12

ho letto male, come sempre.....
pensavo che tu avessi scritto una parte [sottoinsieme] di un insieme infinito....... non l'insieme delle parti......

bisognerebbe allora provare che non sia equipotente con l'insieme $NN$....

da **goldengirl** » 03/10/2006, 18:15

che nn lo sarà mai per il teorema di cantor......
giusto?

EDIT: non sarà mai equipotente a $NN$

da **Ravok** » 03/10/2006, 18:20

Dovrebbe funzionare in questo modo se la domanda non mi trae in inganno...
Prendi un insieme come lo hai descritto tu, numerabile. Il suo insieme delle parti sarebbe numerabile se riuscissi a stabilire una biezione che collega i due insiemi... cioè uno non può essere molto più grande dell'altro, come ha detto Goldengirl devono essere equipotenti... ma questo non è possibile, perchè per ogni elemento del tuo insieme tu ne trovi infiniti nell'insieme delle parti...
dovrebbe funzionare così...
R

da **vl4d** » 03/10/2006, 18:43

goldengirl: la diagonale di Cantor dice che $RR$ non e' numerabile...forse si puo' trovare una biezione fra l'insieme delle parti ed $RR$...

da **fields** » 03/10/2006, 19:03

Supponiamo per assurdo esista un biettività $f$ fra $S$ e $Parti(S)$. Sia $C$ l'insieme degli $x\in S$ tali che $x$ non appartiene a $f(x)$. Allora esiste $a\in S$ tale che $f(a)=C$. Ora se $a$ non appartiene a $C=f(a)$, allora per definizione $a$ appartiene a $C$, assurdo. Se invece $a$ appartiene a $C=f(a)$, allora per definizione $a$ non appartiene a $C$, assurdo.

da **goldengirl** » 03/10/2006, 19:07

fields ha scritto:Supponiamo per assurdo esista un biettività $f$ fra $S$ e $Parti(S)$. Sia $C$ l'insieme degli $x\in S$ tali che $x$ non appartiene a $f(x)$. Allora esiste $a\in S$ tale che $f(a)=C$. Ora se $a$ non appartiene a $C=f(a)$, allora per definizione $a$ appartiene a $C$, assurdo. Se invece $a$ appartiene a $C=f(a)$, allora per definizione $a$ non appartiene a $C$, assurdo.

e questa è la dim del teorema di cantor.....

da **vl4d** » 03/10/2006, 19:37

giusto, grazie fields

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