Somme particolari

[karl]

Calcolare le seguenti somme:

A)1^2-3^2+5^2-7^2+...-(4n-1)^2

B)2*(1^2)+3*(2^2)+4*(3^2)+...+(n+1)*(n^2)

karl.

[keplero]

<font color=black><font face='Courier New'>
In una rozzissima maniera ho concluso che la prima va a -oo e la seconda a +oo. Aspetto la correzione delle cretinate che sto per dire e voglio sapere qual'è la maniera rigorosa di dimostrarlo. Dunque, ecco la mia versione:

per n tendente a +oo -(4n - 1)^2 tende a -oo
-(4n - 1)^2 -(4n+1 - 1)^2 pure va a -oo
(non so perchè ma sento che questo basta, ovviamente sbaglio)

la stessa cosa per la seconda, la serie è divergente:
(n + 1) * (n^2) tende a +oo

Ora voglio la risposta ufficiale!
</font id='Courier New'></font id=black>

[karl]

Keplero,si tratta di somme finite!
(non sono serie... serie)
Complimenti per la chiarissima risposta che hai dato a peppic.
Meglio non si poteva fare.
karl.



Modificato da - karl il 29/01/2004 17:11:14

[keplero]

<font color=black><font face='Courier New'>
Aspetta un attimo. Così mi mandi in crisi! Vuoi dire che le due cose che hai scritto non sono:

<img src="http://utentiforum.supereva.it/keplero/somme.gif" border=0>

Allora che sono? Mi potresti spiegare che intendi per somme parziali? Che ci si ferma ad un certo n?

Grazie per i tuoi complimenti, li apprezzo moltissimo!
</font id='Courier New'></font id=black>

[karl]

Intendevo dire che si tratta di somme che
si esauriscono con l'ultimo termine che ho scritto
(ci si ferma ad un certo termine,proprio come dici tu).
Come dire ,per fare un esempio,la somma dei primi
n numeri naturali (che e',come sappiamo,n(n+1)/2 dunque finita).
Se vuoi pensarci ancora un po'...
Saluti da karl.

[keplero]

<font color=black><font face='Courier New'>
Non mi trovo con la prima... se la somma è -(4n - 1)^2 lo sviluppo non dovrebbe essere:

1^2 -3^2 -7^2 -11^2?

Ancora non capisco... Aspetterò la risposta!
</font id='Courier New'></font id=black>

[karl]

Forse ho scritto male io,ma -(4n-1)^2
non e' la somma richiesta ma l'ultimo
termine della stessa.
La somma totale e'<b>-8n^2</b>
karl.

[Cavia]

Concordo silla somma A)
Riguardo alla B) il risultato è

n(n+1)(n+2)(3n+1)/12

Per trovarla ho ragionato così: la somma è un polinomio di 4° grado (visto che le differenze sono di 3° grado) e quindi del tipo
an^4+bn^3+cn^2+d^n+e. Si vede subito che e=0. Sostituendo il risultato per 4 valori di n ho ottenuto un sistemino che risolto mi ha dato i valori dei coefficienti a, b, c, d.

Cavia

[karl]

Il risultato di Cavia e' esatto (anche se
ottenuto un po' laboriosamente).
Un procedimento piu' semplice e' il seguente:
Somma=(1+1)*1^2+(1+2)*2^2+(1+3)*3^2+...+(n+1)*n^2=
1^2+1^3+2^2+2^3+3^2+3^3+....+n^2+n^3=
(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=
n(n+1)(2n+1)/6+[n(n+1)/2]^2^=
n(n+1)(n+2)(3n+1)/12
karl.

[Cavia]

La semplicità è del tutto illusoria: hai usato la formula per la somma dei primi n quadrati! Di quest'ultima formula esistono infinite dimostrazioni diverse, ma la più spettacolare la trovate su
The Mathematical Intelligencer, 24, 2002

Cavia