Insieme delle Parti - Esercizi 1.1.16 e 1.1.17

[Archimede]

Eccco altri esercizi (ci stiamo evolvendo piano piano )

1.1.16
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta:
$S \subseteq T \Leftrightarrow P(S) \subseteq P(T)$.

1.1.17
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta:
$P(S \cap T) = P(S) \cap P(T)$.

Come al solito a presto per la risoluzione o eventuali richieste di aiuto

[Archimede]

Risolviamo 1.1.16

1.1.16
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$ risulta
$S \subseteq T \Leftrightarrow P(S) \subseteq P(T)$

$\Rightarrow$
Ipotesi: $S \subseteq T$
Tesi: $P(S) \subseteq P(T)$
Sia $X \in P(S) \Rightarrow X \subseteq S$ e poichè $S \subseteq T \Rightarrow X \subseteq T \Rightarrow X \in P(T)$.

$\Leftarrow$
Ipotesi: $P(S) \subseteq P(T)$
Tesi: $S \subseteq T$
Sia $x \in S \Rightarrow {x} \subseteq S \Rightarrow {x} \in P(S)$ e poichè $P(S) \subseteq P(T) \Rightarrow {x} \in P(T) \Rightarrow x \in T$.

Dovrebbe essere corretto, datemi una controllatina se potete, grazie

[Fioravante Patrone]

1.1.16
$S \subseteq T \Leftrightarrow P(S) \subseteq P(T)$

Dim.

"freccia in là"
$S \subseteq T \Rightarrow P(S) \subseteq P(T)$

$S \subseteq T \Rightarrow (A \subseteq S \Rightarrow A \subseteq T)$ [perché "$\subseteq$" è transitiva] e quindi $(A \in P(S) \Rightarrow A \in P(T))$

"freccia in qua"
bella!
$P(S) \subseteq P(T)$, visto che $S \in P(S)$, implica che $S \in P(T)$ e quindi $S \subseteq T$ per def di $P(T)$

ciao

PS: ma dai, passa a qualcosa di più tosto!
'ste cose si imparano e si rafforzano anche facendo altre cose

[Fioravante Patrone]

oops!

sono arrivato 2

[Archimede]

Risolviamo 1.1.17

1.1.17
Provare che, qualunque siano $S$ e $T$, risulta
$P(S \cap T) = P(S) \cap P(T)$

$\subseteq$: $P(S \cap T) \subseteq P(S) \cap P(T)$
Sia $X \in P(S \cap T) \Rightarrow S \cap T \Rightarrow X \subseteq S$ e $X \subseteq T \Rightarrow X \in P(S)$ e $X \in P(T) \Rightarrow X \in P(S) \cap P(T)$.

$\supseteq$: $P(S) \cap P(T) \subseteq P(S \cap T)$
Sia $X \in P(S) \cap P(T) \Rightarrow X \in P(S)$ e $X \in P(T) \Rightarrow X \subseteq S$ e $X \subseteq T \Rightarrow X \subseteq S \cap T \Rightarrow X \in P(S \cap T)$

Edito per correggere la risposta

[Archimede]

[mode bimbo on]
ahah Fioravante sono arrivato prima iooo prima ioooo gne gne gne
[mode bimbo off]

Grazie per i tuoi suggerimenti comunque, faccio ancora un po' questi anche perchè poi piano piano diventano sempre piu' difficili anche se a volte mi sorprendo di come riesco a risolverli.
Prima di iniziare (1 mese fa circa) ero convinto di non capirci proprio niente