Insieme delle Parti - Esercizio 1.1.19

[Archimede]

Ho difficoltà su questo esercizio:

1.1.19
$P(S) \cup P(T) = P(S \cup T) \Leftrightarrow S \subseteq T$ oppure $T \subseteq S$.

$\Rightarrow$
Ho tentato di dare due soluzioni per questa prima parte, una incompleta e l'altra per assurdo

Soluzione n.1
Sia $X \subseteq S \Rightarrow X \in P(S) \Rightarrow X \in P(S) \cup P(T) \Rightarrow X \in P(S \cup T) \Rightarrow X \subseteq S \cup T$ e da qui in poi non so continuare.

Soluzione n.2 per assurdo
Supponiamo per assurdo che $S \subsetne T$ e $T \subsetne S$ da questo rileviamo che
$\exists x : x \notin (S \cup T) \Rightarrow \exists {x} \subsetne S \cup T \Rightarrow {x} \notin P(S \cup T)$ ma l'ipotesi dice che s $X \subseteq S \Rightarrow X \in P(S) \Rightarrow X \in P(S \cup T)$ per cui giungiamo ad un assurdo e deve essere per forza $S \subseteq T$ o $T \subseteq S$.

$\Leftarrow$
Ipotesi: $S \subseteq T$ o $T \subseteq S$
Tesi: $P(S) \cup P(T) = P(S \cup T)$

$\subseteq$: $P(S) \cup P(T) \subseteq P(S \cup T)$
Sia $X \in P(S) \cup P(T) \Rightarrow X \in P(S)$ o $X \in P(T) \Rightarrow X \subseteq S$ o $X \subseteq T \Rightarrow X \subseteq S \cup T \Rightarrow X \in P(S \cup T)$.

per l'altra inclusione ancora nulla.

Potete darmi qualche suggerimento e correzione di ragionamento? grazie

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Soluzione n.2 per assurdo
Supponiamo per assurdo che $S \subsetne T$ e $T \subsetne S$ da questo rileviamo che
$\exists x : x \notin (S \cup T) \Rightarrow \exists {x} \subsetne S \cup T \Rightarrow {x} \notin P(S \cup T)$ ma l'ipotesi dice che s $X \subseteq S \Rightarrow X \in P(S) \Rightarrow X \in P(S \cup T)$ per cui giungiamo ad un assurdo e deve essere per forza $S \subseteq T$ o $T \subseteq S$.

Non mi sembra corretto. Se consideri un $x\notin S \cup T$, non ti serve a niente, poiché ${x}$ non è sottinsieme né di $S$ né di $T$. Per procedere per assurdo dovresti considerare due elementi $x,y$ tali che $x\in S$ e $x \notin T$ e $y\in T$ e $y\notin S$ e...