Ottimo Jack
Riporto quello che mi è venuto in mente mentre
leggevo il post di Giravite.
Sul primo esercizio, si potrebbe anche dire questo.
L'ipotesi che sia
(a,b)=1 (cioè che
a e
b siano coprimi)
comporta che sia pure
(ab,a±b)=1 (visto che
a±b
dev'essere primo sia con
a che con
b, per
(a,b)=1).
Poiché
(a+b)²-(a-b)²=4ab,
(a+b,a-b)² (cioè il
quadrato del massimo comun divisore di
a+b e
a-b)
ne divide il membro sinistro e quindi deve dividerne
anche quello destro. Ma sappiamo che
a+b e
a-b
sono primi con
ab, per cui: o
(a+b,a-b)²=1 oppure
(a+b,a-b)²=4 e questo vuol dire che
(a+b,a-b)=2.
In altre parole, il massimo comun divisore di
a+b
e
a-b non è mai maggiore di
2.
Per il secondo esercizio, invece, si può osservare
che
a²=(a+b)a-ab e
b²=(a+b)b-ab e pertanto
il massimo comun divisore di
a+b e
ab divide
senz'altro sia
a² che
b². Poiché
(ab,a+b) è un
divisore comune a entrambi i quadrati, esso deve
dividere pure (a²,b²).