Ancora algebra

Messaggioda Giravite » 26/10/2006, 19:47

Grrrr guardate un po' sti esecizi che non riesco a concludere:-)
Per ogni a b appartenenti a Z vale
m.c.d(a,b)=1 => m.c.d(a+b,a-b) e 1,2

m.c.d(ab,a+b) | m.c.d(a^2 ,b^2)

Grazie in anticipo per la vostra disponibilita'.
Ciauzzzz
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Messaggioda jack » 26/10/2006, 20:23

per il primo:
ragioniamo per assurdo...
sia mcd$(a+b,a-b)=k!=1 e k!=2$ con a e b primi tra loro; ma allora si ha per costruzione:
$a+b=kp$ per qualche p (A)
$a-b=kq$ per qualche q (B)
da cui
$a=kp-b$ (A1)
$b=a-kq$ e inserendo al posto di a la (A1):
$b=1/2k(p-q)$ (XXX)adesso, ricaviamo a e b dalla A e dalla B ma in maniera opposta a come abbiamo fatto prima cioè:
$b=kp-a$ (A2)
$a=kq+b$ da cui inserendo la (A2):
$a=1/2k(p+q)$ (YYY) adesso la (XXX) e la (YYY) sono:
$a=1/2k(p+q)$
$b=1/2k(p-q)$ e si avrebbe mcd$(a,b)=k$ per k dispari o mcd$(a,b)=k/2$ per k pari, ma poichè mcd$(a,b)=1$ si ha un assurdo, da cui la tesi...

ciao
jack
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Messaggioda jack » 26/10/2006, 20:25

domanda: cosa sta a significare quella barra verticale fra m.c.d(ab,a+b) e m.c.d(a^2 ,b^2)??
graçias...

ciao
jack
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Messaggioda Giravite » 26/10/2006, 20:35

divide
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Messaggioda jack » 26/10/2006, 21:10

ok ci sono, mi è venuta un po' intricata ma forse ci sono...
allora, chiamo $k=mcd(ab,a+b)$ e $d=mcd(a^2,b^2)$; adesso sia per assurdo che k non divide d; si ha:
$a+b=kp$ per qualche p (1)
$ab=kq$ per qualche q e inoltre (2)
$a^2=dx$ per qualche x (3)
$b^2=dy$ per qualche y(4); adesso dalla (3) e la (4) si ha $a^2+b^2=d(x+y)$ inoltre elevando la (1) alla seconda e inserendo dentro la (2) si ha:
$a^2+b^2=k(p-2q)$ adesso eguagliando queste ultime due equazioni:
$k(p-2q)=d(x+y)$ e necessariamente k divide SOLO (x+y) [per la nostra ipotesi]; adesso, facciamo la differenza fra i membri della (3) e della (4): si ha
$a^2-b^2=d(x-y)$ ma poiche $a^2-b^2=(a+b)*(a-b)$ e abbiamo la (1), otteniamo:

$kp(a-b)=d(x-y)$ e da qui ne viene che k divide SOLO (x-y) [sempre per la nostra ipotesi]; insomma k divide (x+y) e contemporaneamente (x-y); poichè al massimo egli potrà essere il massimo comun divisore fra i due termini, si ha per il teorema dimostrato nel precedente post che o k=1 o k=2...adesso, se k=1 l' assurdo è visibile benissimo (1 divide qualsiasi numero), e quindi il teorema è verificato, se k=2 si noti che questo vuol dire che $mcd(a+b,ab)=2$, il che implica a sua volta che a e b siano due numeri pari ALLO STESSO TEMPO! ma se le cose stessero così, allora fra $a^2$ e $b^2$ il minimo fattor comune sarebbe ALMENO 4, poiche sono due numeri della forma 2n (e quindi $mcd(4n^2,4m^2)=4r$), da cui l'assurdo (2|4r contro l'ipotesi), da cui la tesi...

se dio vuole ho finito...

ciao
jack
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Messaggioda Bruno » 27/10/2006, 17:47

Ottimo Jack :D

Riporto quello che mi è venuto in mente mentre
leggevo il post di Giravite.

Sul primo esercizio, si potrebbe anche dire questo.
L'ipotesi che sia (a,b)=1 (cioè che a e b siano coprimi)
comporta che sia pure (ab,a±b)=1 (visto che a±b
dev'essere primo sia con a che con b, per (a,b)=1).
Poiché (a+b)²-(a-b)²=4ab, (a+b,a-b)² (cioè il
quadrato del massimo comun divisore di a+b e a-b)
ne divide il membro sinistro e quindi deve dividerne
anche quello destro. Ma sappiamo che a+b e a-b
sono primi con ab, per cui: o (a+b,a-b)²=1 oppure
(a+b,a-b)²=4 e questo vuol dire che (a+b,a-b)=2.
In altre parole, il massimo comun divisore di a+b
e a-b non è mai maggiore di 2.

Per il secondo esercizio, invece, si può osservare
che a²=(a+b)a-ab e b²=(a+b)b-ab e pertanto
il massimo comun divisore di a+b e ab divide
senz'altro sia che . Poiché (ab,a+b) è un
divisore comune a entrambi i quadrati, esso deve
dividere pure (a²,b²).
Bruno
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