Prodotto di insiemi - Esercizio 1.2.8 e 1.2.9

[Archimede]

1.2.8
Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi non vuoti. Provare che risulta
$(S \times T) \cup (T \times S) = V \times V \Leftrightarrow S = T = V$

1.2.9
Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti ed ambedue non costituiti da un solo elemento. Determinare un sottoinsieme di $S \times T$ che non è un prodotto cartesiano $X \times Y$ con $X \subseteq S$ e $Y \subseteq T$.

Posto sotto quello che sono riuscito a fare sperando in un aiutino (non soluzione) per andare avanti Grazie

[Archimede]

1.2.8
Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi non vuoti. Provare che risulta
$(S \times T) \cup (T \times S) = V \times V \Leftrightarrow S = T = V$

$\Rightarrow$
Ipotesi: $(S \times T) \cup (T \times S) = V \times V$
Tesi: $S = T = V$

$\subseteq$: $S \subseteq T \subseteq V$
Sia $x \in S$, se $y \in T \Rightarrow (x,y) \in S \times T \Rightarrow (x,y) \in (S \times T) \cup (T \times S) = V \times V$ per ipotesi, per cui $\Rightarrow (x,y) \in V \times V \Rightarrow x \in V$ e $y \in V \Rightarrow x \in V$.
Qui ho dimostrato che se $x \in V$, $\forall x \in S$ ma se non sbaglio non ho dimostrato che $x \in T$ e qui mi sono arenato suggerimenti?

[Archimede]

1.2.9
Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti ed ambedue non costituiti da un solo elemento. Determinare un sottoinsieme di $S \times T$ che non è un prodotto cartesiano $X \times Y$ con $X \subseteq S$ e $Y \subseteq T$.

Avevo pensato che qualsiasi $W \subseteq S \times T$ è comunque un prodotto cartesiano. L'unico insieme che forse non lo è sarebbe $\emptyset$. Ma
1) non so se è giusto
2) se fosse giusto non riesco a capire come formalizzare

anche per questo accetto suggerimenti ^__^ grazie.

[jack]

1.2.9
non è detto che qualsiasi sottoinsieme $W$ sia un prodotto cartesiano, per esempio basta che in questo sottoinsieme ci sia una coppia $(s,t)$ tale per cui l'elemento s di S sia ripetuto una sola volta. è ovvio che se stiamo parlando di insiemi contenti più di un elemento, l'insieme $W$ dovrebbe avere tante coppie (x,elemento qualsiasi di T) quanto è la cardinalità di $T$ ovvero $|T|$, che per ipotesi è maggiore di uno.
ecco trovato un sottoinsieme $W$ del tipo che cercavamo.
ps scusa se ho spiegato un po' frettolosamente ma sto scappando all' uni...se torno e c'è qualcosa che ancora non è chiaro provo a risponderti...

ciao

[Archimede]

1.2.9
non è detto che qualsiasi sottoinsieme $W$ sia un prodotto cartesiano, per esempio basta che in questo sottoinsieme ci sia una coppia $(s,t)$ tale per cui l'elemento s di S sia ripetuto una sola volta. è ovvio che se stiamo parlando di insiemi contenti più di un elemento, l'insieme $W$ dovrebbe avere tante coppie (x,elemento qualsiasi di T) quanto è la cardinalità di $T$ ovvero $|T|$, che per ipotesi è maggiore di uno.
ecco trovato un sottoinsieme $W$ del tipo che cercavamo.
ps scusa se ho spiegato un po' frettolosamente ma sto scappando all' uni...se torno e c'è qualcosa che ancora non è chiaro provo a risponderti...

ciao

Mmmm non riesco a capire, $S \times T$ contiene tutte coppie con $x \in S$ e $y \in T$ per cui anche una sola coppia di prima coordinata $x$ questa apparterrebbe ad insieme che è comunque un prodotto cartesiano di due sottoinsiemei di $S \times T$ ... credo di non aver capito ancora

[jack]

forse un esempio può chiarirti meglio....
prendo gli insiemi X={a,b,c,d,e,f} e Y={1,2,3,4,5,6} (che abbiano la stessa cardinalità è un caso...); adesso immagina l' insieme $X \times Y$; da questo insieme posso prendere un certo numero di coppie tali che non siano il prodotto di nessun sottoinsieme di X e di Y: per esempio l'insieme Z={(a,2),(a,6),(b,5)} chiaramente non è il prodotto di due sottinsiemi appartenenti rispettivamente a X e Y (infatti mancherebbero le coppie (a,5) (b,2) (b,6))

[Archimede]

Ahh ho capito anzi....EUREKA!
Mica mi sai dire qualcosa anche per il primo esercizio?
Grazie comunque per la pazienza.

[Mortimer]

Il primo ex. lo potresti provare con la proprietà commutativa del prodotto e con la proprietà iterativa dell'unione.

[Archimede]

Grazie Mortimer, ancora pecco nel non prendere tutto ciò che conosco in considerazione proverò e vi farò sapere. Grazie ancora.