Proprietà insiemistica di funzioni

[Mortimer]

Potreste dimostrarmi queste due proprietà:
Se $f$ è una funzione definita in $S$ ed a valori in $T$, $Y$ una parte di $T$, si ha:


$f(X')-f(X'')subef(X'-X'')$ per ogni coppia $(X',X'')$ di sottoinsiemi di $S$
$f^-1(Y')-f^-1(Y'')=f^-1(Y'-Y'')$ per ogni coppia $(Y',Y'')$ di sottoinsiemi di $T$

[Archimede]

Esercizio
$f(X') \setminus f(X'') \subseteq f(X' \setminus X'')$

dim: Sia $y \in f(X') \setminus f(X'') \Rightarrow \exists x \in X' : f(x) = y$, ma poichè $ y \notin f(X'') \Rightarrow x \notin X'' \Rightarrow x \in X' \setminus X''$ e $y = f(x) \in f(X' \setminus X'')$.

[Archimede]

Esercizio
$f^-1(Y') \setminus f^-1(Y'') = f^-1(Y' \setminus Y'')$

$\subseteq$: $f^-1(Y') \setminus f^-1(Y'') \subseteq f^-1(Y' \setminus Y'')$
Sia $x \in f^-1(Y') \setminus f^-1(Y'') \Rightarrow f(x) \in Y'$ e $f(x) \notin Y'' \Rightarrow f(x) \in Y' \setminus Y'' \Rightarrow x \in f^-1(Y' \setminus Y'')$.

$\supseteq$: $f^-1(Y' \setminus Y'') \subseteq f^-1(Y') \setminus f^-1(Y'')$
Sia $x \in f^-1(Y' \setminus Y'') \Rightarrow f(x) \in Y' \setminus Y'' \Rightarrow f(x) \in Y'$ e $f(x) \notin Y'' \Rightarrow x \in f^-1(Y') \setminus f^-1(Y'')$.

[Mortimer]

Grazie Archimede, bella dimostrazione....la logica algebrica è davvero affascinante...

[Archimede]

Già mi piace tantissimo ed è l'argomento a cui mi sto dedicando in questo periodo (tempo permettendo) anche se in alcuni esercizi trovo ancora un po' di difficoltà di ragionamento