Equipotenza

da **matematicoestinto** » 28/10/2006, 11:10

La prof ci ha lasciato di provare che l'intervallo $[0,1]$ è equipotente a $RR$. Ci ha consiglaito di usare la funzione $f(x)=((2^x)/(2^x+1)$ per fare vedere che esiste uan funzione biunivoca fra $RR$ e l'intervallo.

Ma quello che non capisco è perchè questa funzione risulti surgettiva?!?!?!

Potete illuminarmi, per favore

A presto

da **Valerio Capraro** » 28/10/2006, 11:18

quella funzione è monotona e mappa uno ad uno tutti i reali in $(0,1)$, dunque $RR$ è equipotente a $(0,1)$... aggiungi due punti ad un insieme infinito e non cambia niente

da **matematicoestinto** » 28/10/2006, 11:21

Che è monotona l'avevo capito... io non capisco come mai la funzione:

$f(x) [0,1]-> RR$ sia biunivoca

Preso ad esempio il valore del codominio y=100 il corrispondente valore del dominio non dovrebbe essere nell'intervallo [0,1]? Facendo il grafico non mi pare risulti questo....

da **matematicoestinto** » 28/10/2006, 11:25

Potresti dimostrarmi che è surgettiva per favore?

da **leev** » 28/10/2006, 11:43

La funzione è piuttosto
$f(x)=2^x/(1-2^x)$
se consideri la funzione che va dall'intervallo a $RR$;

da **giuseppe87x** » 28/10/2006, 11:44

Basta osservare che l'insieme immagine della tua funzione, che è definita da $f(x):RR->[0,1]$ è uguale al suo codominio.

da **matematicoestinto** » 28/10/2006, 14:10

giuseppe87x ha scritto:Basta osservare che l'insieme immagine della tua funzione, che è definita da $f(x):RR->[0,1]$ è uguale al suo codominio.

Non vorrei sembrare insistente , ma come lo metto per iscritto?

da **giuseppe87x** » 28/10/2006, 16:21

Calcola l'inversa e fai vedere che il suo dominio (ovvero $im(f)$ per la definizione di funzione inversa) coincide con $[0,1]$

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