Algebra dei gruppi

[miles_davis]

Dimostrare che un sottogruppo normale H di G di ordine 2 è contenuto in Z(G), centro del gruppo.

Buonanotte

[leev]

Sia $x$ un elemento di $H$;
se $x=1$ : x appartiene a $Z(G)$ (gruppo)
se $x!=1$ :
visto che $H$ è normale in $G$,
per tutti i $g$ in $G$,esiste $y$ in $H$, tale che: $gx=yg$, per un $y$ in $H$.
Il che implica chiaramente che $y=x$ sempre (se fosse 1, $x=1$, assurdo)
Dunque $gx=xg$ per tutti i $g$...dunque x in $Z(G)$

Ma forse si può spiegare in mezza riga?!?
notte

[miles_davis]

Non riesco a capire dove hai utilizzato l'ipotesi che fosse di ordine 2. Puoi chiarirmelo? Grazie.

[leev]

per tutti i $g$ in $G$,esiste $y$ in $H$, tale che: $gx=yg$, per un $y$ in $H$.
Il che implica chiaramente che $y=x$ sempre (se fosse 1, $x=1$, assurdo)

La utilizzo qua, perché, escludendo il caso $y=1$ (che porta a contraddizione), visto che $H$ è di ordine 2, l'unica possibilità è che $y=x$

[miles_davis]

Grazie. Ora è tutto più chiaro!!!