Principio di induzione

[Daniheart]

Ciao a tutti,
ieri la prof ha svolto alla lavagna un esercizio in questo modo, ma c'è una passaggio ke mi è poco chiaro:

dimostrare per induzione che $3^n>=2n$
dopo averla verificata vera per $n=1$ , la verifica per $n+1$:
ipotesi $3^n>=2n$
tesi: $3^[n+1]>=2(n+1)$ da cui segue che $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ da cui segue ancora (è da qui che non ho più capito) $2n+2n+2n = 2n+4 > 2n+2= 2(n+1)$

qualcuno potrebbe spiegarmi questo ultimo passaggio'

Grazie anticipatamente

[jack]

se fosse $2n+2n+2n>=2n+4>=2(n+1)$ il teorema tornerebbe perfettamente...probabilmente c'è stato un piccolo errore di distrazione...

ciao

[Daniheart]

ma la prof ha detto ke deve appunto tornare visto ke dobbiamo dimostrare che la tesi sia vera...

ma quello che non ho capito è come fa a passare da $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ a $2n+2n+2n = 2n+4 > 2n+2= 2(n+1)$ che $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ fa $6n$ l'ho capito e che $6n$ si può scrivere come $2n+2n+2n$ ma da qui come fa a dire che è = a $2n+4$? ecco il mio dubbio è più pratico che teorico, mi sfugge il passaggio matematico, pratico... aiutatemi

[leev]

Come diceva jack:
quel $2n+2n+2n = 2n+4$ probabilmente è un $2n+2n+2n >= 2n+4$ visto che $n>=2$

e quindi non fa una grinza, concordi?

[Daniheart]

ragazzi scusate forse, sicuramente, non riesco a spiegarmi io:

allora : $3^[n+1]>=2(n+1)$ da cui segue che $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ da cui segue ancora che $2n+2n+2n = 2n+4 > 2n+2= 2(n+1)$

adesso analizziamo passo per passo: $3^[n+1]>=2(n+1)$ per le proprietà delle potenze fa: $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ adesso il $6n$ lo scriviamo come $2n+2n+2n$ e fino a qui ci sono quello che non ho capito è da dove lo prendiamo questo $2n+4$ che poi è uguale a $2(n+1)$ l'ho capito perchè raccogliamo il $2$ ma il passo prima?

Vi prego ditemi se sono riuscita adesso a farmi capire...

[leev]

no qua mi sa che non quadra già in partenza:
dici 'da cui segue che' all'inizio, xò $3^(n+1)>=2(n+1)$ è la tesi da dimostrare, quindi non implica niente. $3^n*3 >= 2n3$ deriva dall'ipotesi d'induzione.
Fino a qua ok?!

[Daniheart]

si fin qui ho capito è la continuazione a darmi problemi...

[leev]

ok, allora continuando
$3^n3>=2n3=6n>=2n+4>2n+2=2(n+1)$
e quindi la tesi è dimostrata.
poi il fatto di scrivere che è $>=$ di $2n+4$ può essere superfluo....xo giusto

[Daniheart]

allora per dimostrare la tesi potevamo fermarci qui: $3^n3>=2n3=6n ?

e poi da dove spunta questo 2n+4 è questo che non ho capito sarebbe il $6n$ che diventa così?

[leev]

no la tesi l'hai dimostrata quando arrivi a vedere che $3^(n+1) >= 2(n+1)$

Cmq si è il 6n che 'diventa' un 2n+4,
cioè $6n=2n+4n>=2n+4$ (xké $n>=1$!)

(sxo ke ora sia chiaro...se non fosse...cmq mi trovi in msn )

ciao