elipsoide

[leev]

Salve,

devo trovare i punti per cui la parametrizzazione dell'elipsoide è regolare.
La parametrizzazione è la seguente: $X(u,v)=(a sinu cosv,b sinu sinv,c cosu)$

Io mi son calcolato il jacobiano e ho verificato per quali valori di $u$ e $v$ le due colonne fossero linearmente dipendenti (ponendo il prodotto vettoriale delle colonne uguale a 0);
ho quindi trovato che la superficie non è regolare per ${0,pi,2pi} x {pi/2,3/2pi}$, cioè le 6 estremità dell'elipsoide. Mi sembra abbastanza plausibile come risultato.
Però se qualcuno me lo potesse confermare, starei meglio (anche perché ora ho qualche altra superficie da verificare)

Ciao!

[anonymous_af8479]

Una parametrizzazione di una superficie regolare, per quel che ne so, deve essere definita a priori su un aperto.

Il problema, quindi, mi sembra mal posto.

Comunque, se ci si limita solo a volere vedere dove x_u ^ x_v = 0, a me vengono solo i due poli (nord e sud). Chi sbaglia ... ?

[leev]

Ok, riesaminando la cosa trovo un altro risultato.
In effetti la parametrizzazione è definita su un aperto: $]0,pi[x]0,2pi[$ (spero che sia giusto...)
Quindi certi valori che ho detto sopra non andavano neanche considerati...anzi tutti:
ho ricalcolato ora $x_u \wedge x_v =0$, e avrei trovato che l'unica condizione è $sinu =0$, e quindi non è soddisfatta per nessuno numero tra $]0,pi[$.

Tu che condizione avevi trovato?

[anonymous_af8479]

La parametrizzazione in questione definita sull'aperto $U=]0,pi[x]0,2pi[$ soddisfa tutte le condizioni richieste perchè la superficie da essa mappata sia regolare. Quindi non andrebbero esclusi altri punti.

Considerando il vettore $x_u \wedge x_v$ fuori dal contesto, esso si annulla se $sinu = 0$, cioè per $u = 0;pi$ , cioè solo nei poli N ed S.

Sei d'accordo ?

[anonymous_af8479]

Una precisazione a scanso di equivoci.

Esiste una definizione di superficie paramentrica più generale in cui la regolarità (ed altro) non è un prerequisito.

Per tali superficie si definisce un aperto e su di esso una parametrizzazione differenziabile (meglio se di classe C infinito). Addirittura non è richiesto nessun omeomorfismo !!!

Tali superficie si possono quindi anche "auto intersecare" ...

Per tali superficie la ricerca della regolarità si fa successivamente.

L'ellissoide in questione, allora, può essere definito come superficie parametrica addirittura su tutto $R^2$ e per tale parametrizzazione (quella da te indicata), guardando il solito prodotto vettoriale, trovare che i punti per cui $sinu = 0$ non sono punti regolari.

Dipende, in definitiva, dall' "approccio" a cui ti vuoi rifare ...