principio di induzione

[gilmor]

Ciao!!!
Qln sa dirmi se ho capito bene il principio di induzione? Allora.... P(n) è una proposizione dipendente da n:
- P(1) è vera = passo base
- l'essere vera P(n) implica la validità di P(n+1) = passo induttivo
Allora P(n) è vera per ogni n naturale.

Io ho messo P(1) perkè nel mio libro per i naturali parte da 1, cioè viene escluso lo 0...ma ho visto ke molti partono da 0...
Cmq, è giusto così il principio?
Come potrei fare per dimostrarlo xò, senza le sommatorie?
Grazie in anticipo....

[leev]

se l'hai capito te lo senti dentro
però ad occhio direi di sì

comunque non va dimostrato, è un assioma (ha a che vedere con gli assiomi di peano avevo letto..); però probabilmente può essere dimostrato se si prende come assioma qualcos altro al posto di questo.
(mi si corregga se sbaglio!)

[Fioravante Patrone]

Allora.... P(n) è una proposizione dipendente da n:
- P(1) è vera = passo base
- l'essere vera P(n) implica la validità di P(n+1) = passo induttivo
Allora P(n) è vera per ogni n naturale.

Io ho messo P(1) perkè nel mio libro per i naturali parte da 1, cioè viene escluso lo 0...ma ho visto ke molti partono da 0...

sì, l'hai capito (e concordo con l'intera risposta di leev)
oltre che ribadire che "non si dimostra", vorrei aggiungere qualche ulteriore cosuccia, che magari può servire

tu hai messo $P(1)$, dici perché... bla bla (e condivido)
Che ne dici di questo?

- $ P(2006)$ è vera = passo base
- per ogni $n \ge 2006$ l'essere vera $P(n)$ implica la validità di $P(n+1)$ = passo induttivo
Allora $P(n)$ è vera per ogni naturale $n \ge 2006$.

Certo, se per qualcuno i naturali cominciano da $3$ non potrai parlare di $n < 3$...
Come tu notavi per $0$ e $1$.

Ma quello che voglio sottolineare è che i punti cruciali sono:
1. per quali $n$ riesci a provare la validità del passo induttivo
2. che per il minimo di questi $n$ tu possa provare la "base".
Riguardo al punto 1. è bene rendere esplicito per quali $n$ vale il passo induttivo. In altre parole, io avrei detto (assumendo che "i naturali cominciano da $1$"):
- per ogni $n \in NN$, (l'essere vera $P(n)$ implica la validità di $P(n+1)$) [passo induttivo]

Notazione terminologica.
Per me il principio d'induzione ci dice che possiamo attraversare un fiume se siamo sul primo sasso e se da ogni sasso riusciamo a passare al successivo.
Per questo io non parlo di "passo base" ma solo di "base"

Ma ognuno ha le sue fisime...

ciao

[gilmor]

Grazie a Leev e Fioravante Patrone...
A noi il principio di induzione è stato spiegato con l'esempio dei pezzi del domino che cadono uno di seguito all'altro... ma devo dire che qst del fiume, col passare i singoli sassi forse è più efficace...se nn ti dispiace (Fioravante Patrone) potrei usarlo cm esempio qnd lo spiego ai ragazzi del doposcuola delle medie.....
Cmq, grazie a tutti e due.... e buona domenica!!!