Definizione di funzione

[metrixo]

Un saluto a tutti,
può sembrare banale la domanda, perché la definizione di funzione non è difficile, sono pochi termini che la riguardano, però mi sono imbattuto in diverse definizioni di funzione, e non sempre era chiara questa differenza:

cioè, una funzione è una relazione, quindi una corrispondenza tra due insiemi, uno da dove parte la relazione, il dominio, e uno dove arriva, il codominio o immagine, e l'elemento del codominio a cui è associato uno o più elementi del dominio è unico;

oppure, una funzione è un insieme, quindi un sottoinsieme del codominio o immagine, cioè una collezione di elementi contenuti nel codominio che sono in relazione con uno o più elementi del dominio o insieme di partenza?

Riformulo la domanda così: la f di y=f(x) è un insieme ( dunque un sottoinsieme di Y) e dunque sono tre gli insiemi dell'espressione (X, Y, f), oppure f è una corrispondenza o relazione o applicazione tra gli elementi degli insieme X e Y e dunque sono due gli insiemi dell'espressione (X e Y)?

Perciò, sintetizzo: una funzione f è una relazione tra elementi o un insieme di elementi?

Un saluto e grazie in anticipo

[Quinzio]

Intanto ti rispondo io, poi di sicuro qualcuno più preparato di me sulla teoria aggiungerà la sua risposta.

La $f$, la funzione, è una "relazione", anche detta una "legge" che associa uno o più elementi del dominio a un elemento dell'immagine.
In pratica la funzione è il "modo" in cui metti in relazione gli elementi, "come si fa" a stabilire questa relazione.
Che può essere ad esempio fare il quadrato, la radice cubica, o aggiungere uno.

[Nomadje]

Premetto che non sto utilizzando alcuna fonte in rete perchè sono sicuro che in quel caso il mio aiuto sarebbe pressochè nullo.
Faccio il quinto anno di matematica e proverò a darti una risposta sulla base delle mie conoscenze e delle definizioni che vengono più spesso utilizzate nel mio ambito.
Innanzitutto, come avrai capito, non esiste un'unica definizione di funzione, dipende tutto da quale punto di vista lo affronti.

In termini di coerenza, se utilizzi il termine $f$ da solo, sicuramente ti stai riferendo ad una relazione tra due insiemi (dominio e codominio), con la proprietà fondamentale che ad ogni elemento del dominio è associato un unico elemento del codominio (ovvero è univoca).
Relazioni come la radice quadrata, infatti, NON sono funzioni, perchè hanno l'ambiguità del segno (in quel caso infatti si utilizza l'artificio di considerare solo un ramo specifico della radice, ad esempio quello positivo nella funzione classica).

Tuttavia, in termini di notazione, se definiamo $f$ come relazione dall'insieme $X$ all'insieme $Y$, la notazione $f$ continua a riferirsi ad una relazione, mentre la notazione $f(X)$ si riferisce ad un insieme (l'insieme contenuto in $Y$ che contiene tutti i valori assunti da $f$ in $X$, ovvero l'insieme immagine di $f$).

Spero di aver risolto i tuoi dubbi! In caso mandami un messaggio privato.

[gabriella127]

Sulla definizione di funzione direi questo: la definizione di funzione è stato qualcosa di storicamente molto controverso, e c'è voluto tempo per arrivare alle definizioni oggi comunemente usate. Ad esempio, era controverso (questo fino alla definizione di Dirichlet, che se ben ricordo è del 1837) se una funzione discontinua nel senso attuale del termine potesse definirsi 'funzione'.

Attualmente abbiamo la definizione di funzione cosiddetta classica, che è quella che risale a Dirichlet (ed è quella a cui voi vi riferite nei post precedenti):

DEF: Dati due insiemi $A$ e $B$, una funzione da $A$ a $B$ è una legge (o regola o termine analogo), che ad ogni elemento $x$ di $A$ associa uno ed un solo elemento $y$ di $B$.

(Com'è noto $A$ si dice 'dominio' e $B$ 'codominio' della funzione).

Come avete sottolineato nei post precedenti, qui le parole chiave sono ogni e uno e uno solo.
Poi c'è la parola legge.
Qui va sottolineato (e sentì il bisogno di sottolinearlo anche Dirichlet) che la legge può essere qualsiasi e specificata in qualunque modo (ad esempio, non deve necessariamente essere espressa da una formula matematica, se siamo ad esempio da $R$ in $R$).
In secondo luogo, la parola 'legge', in questa definizione di funzione, non è definita, ma va presa come concetto primitivo.
Per questo motivo questa definizione è stata considerata poco rigorosa, un po' un gioco di parole: che vuol dire 'legge'? che vuol dire 'associa'?

L'evoluzione del concetto di funzione non si è però fermata qui, e abbiamo una definizione di funzione più moderna e rigorosa , che definisce una funzione tramite un insieme di coppie ordinate. La definizione moderna di funzione varia un po' da autore a autore, cito dal libro di algebra di Hernstein, che la fa più semplice:

DEF: Se $A$ e $B$ sono insiemi non vuoti, una funzione da $A$ a $B$ è un sottoinsieme $F$ di $ Axx B $ tale che per ogni $x inA$ esiste un unico $yinB$ tale che la coppia ordinata $(x,y)$ sta in $F$.


Qui non abbiamo più la parola 'legge' o altre non definite, ma la nozione di coppia ordinata, che in teoria degli insiemi è definita.
Secondo questa definizione la funzione è quindi una relazione $F$ (un sottoinsieme di $ Axx B $) tra $A$ e $B$ (non una relazione qualsiasi ovviamente, ma una che soddisfi la definizione precedente).

Altri autori definiscono invece la funzione come la tripletta $(F,A,B)$, e chiamano la relazione $F$ il grafico della funzione.

Ma poi mi sembra che tutti gli autori, una volta data la definizione più formale e precisa e essersi tolti il pensiero di essere rigorosi, la buttano a mare, ritornando alla definizione classica, meno impicciosa e più intuitiva.

Ma poi, ma questa è una mia opinione per quello che vale, che male c'è nell'usare in una definizione, come in quella classica di funzione, dei concetti primitivi?

[metrixo]

Grazie a tutti delle risposte.
Ora è più chiara la definizione di funzione, o meglio, sono più consapevole delle diverse definizioni di funzioni.

Un saluto

[vict85]

Relazioni come la radice quadrata, infatti, NON sono funzioni, perchè hanno l'ambiguità del segno (in quel caso infatti si utilizza l'artificio di considerare solo un ramo specifico della radice, ad esempio quello positivo nella funzione classica).

Il realtà non vi è alcuna ambiguità nella radice quadrata. Quando scrivi \(\displaystyle \sqrt{x} \) nell'insieme dei numeri reali allora supponi che quella sia la radice positiva. Quello che però è il vero “problema” è che data \(\displaystyle g\colon x\mapsto x^2 \) allora esistono due funzioni \(\displaystyle f_1, f_2\colon \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} \) tali che \(\displaystyle g\circ f_i = \mathrm{id}_{\mathbb{R}^{+}} \) (le due funzioni sono \(\displaystyle x\mapsto \sqrt{x} \) e \(\displaystyle x\mapsto -\sqrt{x} \)).

Pertanto se tu possiedi una equazione del tipo \(\displaystyle f^2 = g^2 \) per qualche \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \) allora l'uguaglianza è verificata a meno di un segno cioè \(\displaystyle f = \pm g \). Similmente se si ha \(\displaystyle f^2 = g \) con \(\displaystyle g\ge 0 \) allora, fissata una delle due soluzioni della radice quadrata (per convenzione si sceglie sempre quella positiva), allora si ha che \(\displaystyle f = \pm \sqrt{g} \).

Scritto in un modo alternativo se tu hai che \(\displaystyle \bullet^2\circ f = \bullet^2 \circ g \) (dove con \(\displaystyle \bullet^2 \) intendo l'elevamento al quadrato) allora ne deduci che \(\displaystyle f\in \{ g, -g\} \). Similmente se tu hai che \(\displaystyle \bullet^2\circ f = g \) con \(\displaystyle g\ge 0 \) allora hai che \(\displaystyle \bullet^2\circ f = \bullet^2\circ \sqrt{\bullet}\circ g \) oppure \(\displaystyle \bullet^2\circ f = \bullet^2\circ -\sqrt{\bullet}\circ g \), cioè \(\displaystyle f\in \{ \sqrt{\bullet}\circ g, -\sqrt{\bullet}\circ g\} = \{ \sqrt{g}, -\sqrt{g}\}\).

[gabriella127]

Grazie a tutti delle risposte.

Grazie a te, metrixo, per gli spunti di riflessione.

[garnak.olegovitc]

@metrixo,

Un saluto a tutti,
può sembrare banale la domanda, perché la definizione di funzione non è difficile, sono pochi termini che la riguardano, però mi sono imbattuto in diverse definizioni di funzione, e non sempre era chiara questa differenza:

cioè, una funzione è una relazione, quindi una corrispondenza tra due insiemi, uno da dove parte la relazione, il dominio, e uno dove arriva, il codominio o immagine, e l'elemento del codominio a cui è associato uno o più elementi del dominio è unico;

oppure, una funzione è un insieme, quindi un sottoinsieme del codominio o immagine, cioè una collezione di elementi contenuti nel codominio che sono in relazione con uno o più elementi del dominio o insieme di partenza?

Riformulo la domanda così: la f di y=f(x) è un insieme ( dunque un sottoinsieme di Y) e dunque sono tre gli insiemi dell'espressione (X, Y, f), oppure f è una corrispondenza o relazione o applicazione tra gli elementi degli insieme X e Y e dunque sono due gli insiemi dell'espressione (X e Y)?

Perciò, sintetizzo: una funzione f è una relazione tra elementi o un insieme di elementi?

Un saluto e grazie in anticipo

che confusione leggendo mi viene da porti una domanda, dato il fatto che la funzione è una particolare relazione, e cioè "come definisci una relazione (binaria) tra due insiemi \( A \) e \( B \)?"

Saluti

[algibro]

Non mi è chiaro un passaggio legato alla definizione di funzione, provo a spiegarmi passo dopo passo.
Supponiamo di avere questa relazione:
$f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}, f(x)=sqrt(x)$
La relazione descritta è il seguente sottoinsieme $f \subseteq \mathbb{R^2}$ composto dalle coppie ordinate:
$f={(x,y) \in \mathbb{R^2}:y=sqrt(x)}$
Ora voglio verificare che la relazione $f$ sia una funzione.
Dalla definizione ho che una funzione è una relazione dove, usando notazioni per il caso specifico, $\forall x \in \mathbb{R} \exists! y \in \mathbb{R}: y=f(x)$
Ebbene, $(4,2) \in f$ ma anche $(4,-2) \in f$, non mi si può negare che $4$ sia in relazione con due elementi distinti, almeno per come intento io la "nozione" di radice quadrata !
Ne dedurrei che la relazione $f$ non sia una funzione, eppure leggo spesso il contrario, dove sbaglio ?

[G.D.]

Scritta così non è una funzione a prescindere dalla nozione di radice quadrata: per esempio non puoi calcolare la radice quadrata di \( -4 \).